Γεωμετρική Πρόοδος

1.Είναι μία λίμνη που γεμίζει με νούφαρα.Τα νούφαρα της λίμνης κάθε μέρα διπλασιάζονται.
Σε 50 μέρες η λίμνη είναι γεμάτη από νούφαρα.
Στις πόσες μέρες η λίμνη ήτανε μισογεμάτη;
Η απάντηση θα δωθεί παρακάτω.

2.Aποφασίζουμε να κάνουμε αποταμίευση.Είναι και η οικονομική κρίση τώρα....Έχουμε έναν κουμπαρά.Βάζουμε σήμερα στον κουμπαρά 1 λεπτό και κάθε μέρα βάζουμε το διπλάσιο ποσό από εκείνο που βάλαμε την προηγούμενη μέρα.Δηλαδή 1,2,4,8,....κ.τ.λ.
Μπορείτε να υπολογίσετε ή έστω να φανταστείτε τι ποσό θα έχουμε στον κουμπαρά μας σε ένα μήνα (30 ημέρες);

Η διαδικασία αυτή όπου ξεκίναμε από έναν αριθμό (α1) και κάθε φορά τον πολλαπλασιάζουμε με έναν αριθμό (λ) είναι μία Γεωμετρική Πρόοδος.Το άθροισμα ν όρων μιας γεωμετρικής ποόδου δίνεται από τον τύπο 

Για να δούμε....σε ένα μήνα μόνο και ξεκινώντας από μερικά "ασήμαντα" λεπτά!!
Στην περίπτωση μας α1=1  και λ=2  και ν=30.
Κάντε τους υπολογισμούς και αυτό που θα βρείτε δε θα το πιστεύετε!
Κι όμως το άθροισμα αυτό μας δίνει 1073741823 λεπτά!!! δηλαδή περισσότερα από 10 εκατομμύρια ευρώ!!
Αν τώρα στο ερώτημα με τα νούφαρα απαντήσατε στις 25 μέρες,τότε κάνατε λάθος.
Η σωστή απάντηση είναι στις 49!!Στις 49 μέρες τα νούφαρα θα είναι τα μισά,τη επόμενη θα διπλασιαστούν και η λίμνη θα γεμίσει!
Απλά μαθηματικά!

Παραγγελία πίτσας!

Ένα απλό πρόβλημα για τους μαθητές της Β Γυμνασίου (και όχι μόνο!)
Θέλουμε να παραγγείλουμε μια πίτσα.Ανοίγουμε ένα διαφημιστικό φυλλάδιο μιας πιτσαρίας της αρεσκείας μας.Το κατάστημα μας προτείνει είτε να πάρουμε μια τετράγωνη πίτσα πλευράς 30cm είτε μια κυκλική (και όχι στρόγγυλη!!) διαμέτρου 30cm με ακριβώς τα ίδα υλικά και ακριβώς στην ίδια τιμή.
Εδώ να θυμίσουμε οτι διάμετρος ενός κύκλου είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία του κύκλου (μια χορδή δηλαδή) που περνάει και από το κέντρο του κύκλου.

Η εικόνα δείχνει πως θα είναι οι πίτσες,τα υλικά βάλτε τα εσείς με τη φαντασία σας!






Για να δούμε!
Το εμβαδόν τη τετράγωνης πίτσας θα είναι:

Ενώ της κυκλικής:

Μας συμφέρει σίγουρα να πάρουμε την τετράγωνη!Αυτό νομίζω οτι είναι εύκολο.Από διαίσθηση και μόνο θα επιλέγαμε αυτήν.
Η ίδια πιτσαρία τώρα μας προτείνει και το εξής.
Μπορούμε είτε να πάρουμε την παραπάνω οικογενειακή είτε 4 ατομικές στην ίδια τιμή!

Τι θα προτιμούσατε σε αυτήν την περίπτωση;
Η αλήθεια είναι πως πάλι την τετράγωνη θα επιλέγαμε αφού μιλάμε για την ίδια πιτσαρία αλλά ας υποθέσουμε οτι έχουμε αυτές τις δύο επιλογές μόνο.
Ας δούμε πόσο είναι το εμβαδόν των τεσσάρων μικρών κύκλων μαζί.

Δηλαδή ακριβώς το ίδιο!
Ο καταστηματάρχης όμως,που γνωρίζει απλά μαθηματικά,χαμηλώνει την τιμή της κυκλικής πίτσας κατά ένα ευρώ για να μας δελεάσει.Αν λοιπόν η τετραγωνη πίτσα του πρώτου προβλήματος κοστίζει 7 ευρώ ενώ η κυκλική 6 ευρώ,ποια μας συμφέρει τώρα να αγοράσουμε;Εσείς ποια θα προτιμούσατε;
Για σκεφτείτε το και καλή όρεξη!

0,999......=1!

Είναι το 1 μεγαλύτερος από το 0,999.....?
(όπου ..... σημαίνει άπειρα εννιάρια)
Η απάντηση είναι ΟΧΙ!
Το 1 είναι ΙΣΟΣ με το 0,999...... και ορίστε μια απλή απόδειξη γι'αυτό.
Έστω οτι    x=0,999......
               10x=9,999......
               10x=9+0,999......
               10x=9+x
               10x-x=9
                 9x=9
                  x=1  όμως x=0,999.....(όπως θεωρήσαμε στην αρχή)
  Άρα    1=0,999.....
Απλά μαθηματικά!

Θέματα πανελλαδικών εξετάσεων

Επειδή οι εξετάσεις πλησιάζουν και επειδή όσοι μαθητές προετοιμάζονται γι'αυτές, είτε έχουν βγάλει την ύλη είτε σκοπεύουν να την βγάλουν σύντομα,παρακάτω θα βρείτε τα θέματα των εξετάσεων παλαιότερων ετών για εξάσκηση.Αλήθεια πως θα τα πηγαίνατε εαν δίνατε 1,2,3 ή και περισσότερα χρόνια πριν, εξετάσεις;Συνήθως οι μαθητές όταν βλέπουν παλαιότερα θέματα τα θεωρούν πολύ εύκολα!Γιατί συμβαίνει αυτό άραγε;Είναι γιατι κάθε χρόνο γίνονται και δυσκολότερα ή μήπως ισχύει κάτι άλλο;Προσωπικά πιστέυω οτι τους φαίνονται πιο εύκολα γιατί τα αντιμετωπίζουν με ψυχραιμία και χωρίς το άγχος οτι εξαρτάται το μέλλον τους από τα αποτελέσματα αυτού του γραπτού.Όπως φυσικά θα έπρεπε να αντιμετωπίζονται και οι  εξετάσεις με αυτό τον τρόπο.Η καλή προετοιμασία και η ψυχραιμία πρέπει να υπερισχύουν του άγχους σε αυτη τη περίπτωση.Τα θέματα είναι των μαθηματικών κατεύθυνσης και γενικής παιδείας,ημερησίων και εσπερινών λυκείων καθώς και των επαλ από το 2001 έως και το 2010 όπως τα βρήκα στην ιστοσελίδα του υπουργείου παιδείας
www.minedu.gov.gr

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
2010   2009   2008  2007  2006  2005  2004  2003  2002  2001

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ)
2010   2009   2008  2007  2006  2005  2004  2003

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
2010  2009  2008  2007  2006  2005  2004  2003  2002  2001

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ (ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ)
2010  2009  2008  2007  2006  2005  2004  2003

ΕΠΑΛ-ΤΕΕ
2010   2009  2008  2007  2006  2005  2004  2002  2001

ΕΣΠΕΡΙΝΑ (ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ)
2009  2008  2007  2006  2005  2004  2003  2001

ΕΣΠΕΡΙΝΑ (ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ)
2010  2009  2008  2007  2006  2005  2004  2003  2002  2001

ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΕΠΑΛ
2010   2009  2008  2007

Καλή επιτυχία!



   

Σύμπτωση;

Τι κοινό έχουν ο Euler,ο Leibniz, ο Riemann και ο Fermat πέρα από το ότι είναι και οι τέσσερις μεγάλοι μαθηματικοί;Υπάρχει μια αξιοσημείωτη περίεργη σύμπτωση που τους συνδέει.Τα έτη γεννήσεως τους είναι αντίστοιχα 1707,1646,1826 και 1601.Τοποθετήστε αυτούς τους τέσσερις αριθμούς σε μια τυχαία σειρά.Κάτω από τον πρώτο αριθμό τοποθετήστε τη διαφορά του από τον δεύτερο.Κάτω από τον δεύτερο τοποθετήστε τη διαφορά του από τον τρίτο.Κάτω από τον τρίτο τοποθετήστε τη διαφορά του από τον τέταρτο και κάτω από τον τέταρτο τη διαφορά του από τον πρώτο.Συνεχίστε αυτή τη διαδικασία όσο είναι δυνατόν.Στο τέλος θα παρατηρήσετε κάτι περίεργο!!Φυσικά μας ενδιαφέρουν μόνο οι απόλυτες τιμές των διαφορών,δηλαδή οι θετικές διαφορές.
Το αποτέλεσμα είναι το εξής:

1707     1646     1826     1601
 61         180       225       106
119         45         119       45
 74          74          74        74
  0            0            0          0

Είναι πραγματικά μια αξιοσημείωτη σύμπτωση;
Ή είναι απλά μαθηματικά!!
Δοκιμάστε το ίδιο με 4 ακεραίους της δικής σας επιλογής. 

 

Γενέθλια

Γράψτε σε ένα χαρτί τον αριθμό που αντιστοιχεί στο μήνα γέννησης σας.
(π.χ. 1 για τον Ιανουάριο,2 για το Φεβρουάριο κ.τ.λ.)
και κάντε με την σειρά τις παρακάτω πράξεις.
Πολλαπλασιάστε τον με το 5
Προσθέστε 7
Πολλαπλασιάστε με το 4
Προσθέστε 13
Πολλαπλασιάστε με το 5
Προσθέστε την ημέρα γέννησης σας
Αφαιρέστε το 205
Ποιό είναι το αποτέλεσμα;Σας θυμίζει κάτι;
-Αν έχετε κάνει σωστά τις πράξεις!!!!- πρέπει να βγάλατε έναν αριθμό
όπου τα δύο τελευταία ψηφία είναι η μέρα των γενεθλίων σας και τα δύο προηγούμενα
ο μήνας γέννησης σας!
Παράδειγμα
Ας πούμε ό,τι κάποιος γεννήθηκε στις 10 Δεκεμβρίου (10/12)
12(μήνας γενεθλίων)x5=60, 60+7=67 , 67x4=268 ,  268+13=281 , 281x5=1405 ,
1405+10(η μέρα γενεθλίων)=1415, 1415-205= 1210 δηλαδή 10/12!
Απλά Μαθηματικά!!
Δοκιμάστε το!!!!

Γεωμετρία Α λυκείου

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ
Το τετράπλευρο με τις πλευρές του ανα δύο παράλληλες.
Οι ιδιότητες του παραλληλογράμμου,τα είδη των παραλληλογράμμων και οι ιδιότητες τους.
Ομοιότητες και διαφορές μεταξύ των διαφόρων παραλληλογράμμων μέσα απο ένα αρχείο του λογισμικού geogebra για τους μαθητές της Α λυκείου.
Για το αρχείο πατήστε: παραλληλόγραμμο και για το αντίστοιχο φύλλο εργασίας
πατήστε εδώ.

Μαθηματικά κατεύθυνσης Β λυκείου

Για την διδασκαλία της εξίσωσης κύκλου με κέντρο το (0,0) και (Xo,Yo) και ακτίνας ρ,καθώς και της εξίσωσης εφαπτομένης του σε σημείο (α,β) δημιούργησα το παρακάτω αρχείο με τη βοήθεια του λογισμικού Geogebra.
εξίσωση κύκλου
που συνοδεύεται από το φύλλο εργασίας που θα βρείτε εδω.

Για αρχή......