Τετάρτη, 30 Μαρτίου 2011

Το δίλημμα του κρατούμενου

Δύο ληστές, ο Α και ο Β , συλλαμβάνονται και κρατούνται για ανάκριση.Ο κάθε κρατούμενος έχει την επιλογή είτε να ομολογήσει είτε να μην ομολογήσει.Αν κανένας από τους δύο δεν ομολογήσει τότε λόγω έλλειψης στοιχείων θα τιμωρηθούν από 1 χρόνο ο καθένας.Αν και οι δύο ομολογήσουν τότε η τιμωρία τους θα είναι 5 χρόνια έκαστος.Εάν όμως ο ένας ομολογήσει (και εμπλέξει τον άλλο) και ο άλλος όχι τότε αυτός που ομολόγησε θα αφεθεί ελεύθερος επειδή συνεργάστηκε με τις αρχές και ο άλλος θα τιμωρηθεί με 10 χρόνια φυλάκιση.Να τονίσουμε οτι η ανάκριση θα γίνει στον κάθε κρατούμενο ξεχωριστά κι έτσι ο ένας δεν μπορεί να γνωρίζει τι θα πει ο άλλος στην κατάθεσή του και ούτε μπορούν να συνεννοηθούν για την στρατηγική τους.

Παρακάτω φαίνονται ολα τα δυνατά αποτελέσματα της ανάκρισης αυτής.

Ο πρώτος αριθμός δείχνει την ποινή του κρατούμενου Α και ο δεύτερος την ποινή του κρατούμενου Β σε κάθε περίπτωση.
Τι πρέπει να κάνει ο κάθε κρατούμενος,να ομολογήσει ή οχι , για να επιτύχει το καλύτερο αποτέλεσμα;
Ας υποθέσουμε πως μπορεί να σκεφτεί ο κρατούμενος Α.
1η περίπτωση: Αν ο Β ομολογήσει τότε ο Α ή θα ομολογήσει και θα φυλακιστεί 5 χρόνια ή δε θα ομολογήσει και θα φυλακιστεί 10.Άρα καλύτερα να ομολογήσει.
2η περίπτωση:Αν ο Β δεν ομολογήσει,τότε ο Α ή θα ομολογήσει και θα αφεθεί ελεύθερος ή δεν θα ομολογήσει και θα φυλακιστεί 1 χρόνο.Άρα καλύτερα να ομολογήσει.
Και στις δύο περιπτώσεις λοιπόν είναι καλύτερα να ομολογήσει!!
Με την ίδια λογική πιθανότατα να σκεφτεί και ο Β και έτσι έχοντας ομολογήσει και οι δύο,θα καταληξουν στη φυλακή 5 χρόνια ο καθένας.
Το παράδοξο είναι πως η επικράτηση της λογικής δεν οδήγησε τους δύο αυτούς κρατούμενους στο βέλτιστο δυνατό αποτέλεσμα!

Τρίτη, 29 Μαρτίου 2011

mensa test 2

0 1000 Δ σε ένα Χ 1000 ΔΡΑΧΜΕΣ ΣΕ ΕΝΑ ΧΙΛΙΑΡΙΚΟ
1 28 Η του Σ Μ
2 4 Ε σε ένα Α Π
3 9 Π του Η Σ
4 18 X της Ε
5 180 Ψ για την Ε του Π Δ
6 35 Μ και 60 Μ
7 3 Π σε μία Γ
8 1852 Μ σε ένα Ν Μ
9 8 Σ σε ένα Ο
10 7 Ψ της Γ
11 1 Μ του Κ
12 5 E A
13 3 Α σε ένα Μ Ν
14 4 Α του Σ
15 5 Χ Σ στο Π
16 3 Κ Κ της Ε Τ
17 3 B του Α των Δ
18 4 Χ σε ένα Η Μ
19 25 Α της Π Θ
20 11 τα Ο του Τ
21 33 τα Χ του Μ Α
22 37 οι Α της Ρ (με το Μ)
23 50 Α στην Α Σ
24 100 A B στο Κ Ο
25 20 Ν στο Α Σ
26 9 οι Μ της Κ
27 6 Τ του Α Μ
28 12 οι Μ της Σ Θ
29 4 Ν της Κ
30 10000 Σ στους Τ Κ
31 340 Μ το Δ είναι η Τ του Η
32 3 τα Χ του Φ Σ
33 5 Ω της Γ

Πέμπτη, 24 Μαρτίου 2011

Ας παίξουμε

Τοποθετούμε 6 πούλια του τάβλι,3 μαύρα και 3 άσπρα σε έναν γραμμικό πίνακα όπως φαίνεται στην εικόνα.


 
O σκοπός του παιχνιδιού είναι να εναλλάξετε τα άσπρα με τα μαύρα πούλια μετακινώντας τα με τους εξής τρόπους.
1.Μπορείτε να μετακινήσετε τα μαύρα μόνο προς τα δεξιά και τα άσπρα μόνο προς τα αριστερά.
2.Κάθε πούλι μπορεί είτε να "γλιστρήσει" στη διπλανή κενή θέση, είτε, να υπερπηδήσει ενα πούλι διαφορετικού χρώματος και να βρεθεί στην αμέσως επόμενη κενή.
Ποιός είναι ο ελάχιστος αριθμός κινήσεων που μπορείτε να κάνετε για να το καταφέρετε αυτό.
Δοκιμάστε το!!!

Τρίτη, 22 Μαρτίου 2011

Γρήγορες πράξεις (χωρίς κομπιουτεράκι) 2

Παρακολουθήστε τα παρακάτω βίντεο και δείτε έναν απλό και εύκολο τρόπο
για διαιρέσεις μεγάλων αριθμών με το 9 και για εύκολο πολλαλασιασμό διψήφιων αριθμών.

 
Τα βιντεάκια είναι από το YouTube.

Κυριακή, 20 Μαρτίου 2011

Mensa test

ΤΕΣΤ ΕΥΦΥΪΑΣ
    Πρέπει να βρεις τι σημαίνουν τα γράμματα. Δες το Νο Ο για παράδειγμα. 
Νο. Κρυπτόλεξο Απάντηση
0 24 Ω σε μια Μ 24 ωρες σε μια μερα
1 26 Γ του Λ Α
2 7 Μ σε μια Ε
3 7 Θ του Κ
4 12 Ζ στο Ω
5 150 Ψ της Π Δ
6 52 Χ σε μια Τ (χωρίς τους Μ)
7 5 Γ Λ στην Ε Σ
8 6 Τ σε ένα Τ του Μ
9 5 Δ του Π
10 90 Μ σε μια Ο Γ
11 Κ 5 και Σ Χ (Π 10 και Κ)
12 100 Β Κ είναι η Θ που Β το Ν
13 15 Π ο κάθε Π στο Τ
14 3 Ρ σε ένα Τ
15 100 Λ σε ένα Ε
16 11 Π σε μια Ο Π
17 12 Θ του Ο
18 13 = Γ Ν για Π
19 8 Π του Χ
20 29 Μ το Φ κάθε Δ Ε
21 10 Ε του Μ
22 365 Μ σε ένα Χ
23 300 B E
24 52 Ε σε ένα Χ
25 7 Ψ της Γ
26 60 Λ σε μια Ω
27 23 Ζ από Χ στο Α Σ
28 64 Τ σε μια Σ
29 9 Μ της Α
30 4 Α σε ένα Κ του Α
31 1000 Χ σε μια Χ
32 12 Α του Η
33 45 Γ ενός Κ Γ



Δευτέρα, 14 Μαρτίου 2011

Γρήγορες Πράξεις (χωρίς κομπιουτερακι!)

Πόσο κάνει 105² ; Μπορούμε φυσικά να βρούμε το αποτέλεσμα κάνοντας τον πολλαπλασιασμό
105 x 105  με τον κλασικό τρόπο ή ακόμα και να χρησιμοποιήσουμε ένα κομπουτεράκι.
Θα μπορούσατε όμως να βρείτε το αποτέλεσμα με το νου γρήγορα και χωρίς τη χρήση κάποιας αριθμομηχανής;
Με τη μέθοδο που θα πούμε τώρα θα μπορούμε να βρίσκουμε τα τετράγωνα αριθμών πολύ κοντά στο 100.
Το αποτέλεσμα του 105² για παράδειγμα είναι ένας αριθμός όπου τα τρία πρώτα του ψηφία είναι 105+5=110 και τα δύο τελευταία είναι το 5²=25. Δηλαδή 105²=11025!!!
(προσθέτω στον αριθμό τη διαφορά του από το 100 και έπειτα υψώνω στο τετράγωνο τη διαφορά αυτή)
Ας δούμε ακόμα ένα παράδειγμα
108²=τα τρία πρώτα ψηφία είναι 108+8=116 και τα δύο επόμενα 8²=64 δηλαδή 108²=11664!!!
Για να βρούμε το 113² τότε επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία:113+13=126
και 13²=169  κρατάω το 69 και το 1 το προσθέτω στο 126 που βρήκα πριν.Άρα 113²=12769!! 
Τέλος για να βρω τo  98² ακολουθώ την ίδια διαδικασία.Η διαφορά του από το 100 είναι -2,άρα τα πρώτα ψηφία του αποτελέσματος αυτής της δύναμης είναι 98-2=96 και τα δύο επόμενα (-2)²=4, άρα 98²=9604!!!




Κυριακή, 13 Μαρτίου 2011

Γραφική παράσταση

Κάντε κλίκ στο παρακάτω  link.

www.wolframalpha.com

Εισάγετε τον τύπο οποιασδήποτε συνάρτησης
και θα έχετε την γραφική της παράσταση στη στιγμή.

Πολύ καλό εργαλείο!!


Παρασκευή, 11 Μαρτίου 2011

Σύγχυση με τις πιθανότητες

Ρίχνουμε ένα κέρμα 10 φορές.Το κέρμα είτε θα φέρει κορώνα είτε γράμματα.Η πιθανότητα να φέρει και τις 10 φορές το ίδιο αποτέλεσμα είναι 1 στις 1024
Ρ(Α)=1/1024=0,000976 περίπου.

Η ερώτηση είναι αν ρίξαμε ένα κέρμα 9 φορές και έχει έρθει και τις 9 κορώνα,ποιά είναι η πιθανότητα και τη 10η φορά να έρθει κορώνα;

Αν απαντήσατε 1 στις 1024 τότε πέσατε έξω.
Η πιθανότητα είναι 1/2=0,5 !!!  50% κορώνα και 50 % γράμματα, αφού το αποτέλεσμα της ρίψης του κέρματος είναι ανεξάρτητο από τα αποτελέσματα των προηγούμενων ρίψεων.

Οι άνθρωποι συχνά κάνουν αυτό το λάθος λόγω μιας παρεξήγησης του πως λειτουργεί η πιθανότητα.Συνδυάζουν την πιθανότητα των γεγονότων του παρελθόντος  με εκείνη των μελλοντικών γεγονότων. 

Συχνά σε πρακτορεία προγνωστικών για το Λοττο ή το Τζόκερ προτείνονται κάποιοι αριθμοί που δεν έχουν εμφανιστεί στις τελευταίες 20,50,100 κληρώσεις,άρα τώρα είναι η "σειρά" τους να εμφανιστούν.Όποιος ισχυρίζεται κάτι τέτοιο μπορεί να επικαλεστεί την τύχη αλλά σίγουρα όχι τη θεωρία των πιθανοτήτων μιας και για κάθε νέα κλήρωση η πιθανότητα εμφάνισης κάθε αριθμού είναι ίση και ανεξαρτητη από το πλήθος εμφανίσεων του σε προηγούμενες κληρώσεις.

Άς δούμε άλλα δύο παραδείγματα που φανερώνουν μια σύγχυση της θεωρίας των πιθανοτήτων
Κάποιος δηλώνει "κάθε φορά που ταξιδεύω με αεροπλάνο κουβαλάω και μια βόμβα μαζί μου.Η πιθανότητα να υπάρχει μία βόμβα στο αεροπλάνο είναι πολυ μικρή αλλά η πιθανότητα να υπάρχουν 2 βόμβες στο αεροπλάνο είναι μηδενική!!"
όπως επίσης και " θα αγοράσω ένα σπίτι στο οποίο έπεσε ένα μικρό αεροσκάφος γιατί η πιθανότητα να ξαναπέσει στο  ίδιο σπίτι είναι μηδενική!!

Υπάρχουν βέβαια περιπτώσεις όπου η παραπάνω πλάνη φαίνεται να ισχύει αλλά στην πραγματικότητα δεν υπάρχει.Για παράδειγμα αν από μία τράπουλα επιλέξω ένα φύλλο και είναι άσσος τότε η  πιθανότητα να ξαναβγεί στο δεύτερο φύλλο πάλι άσσος είναι όντως μικρότερη αφού ο αριθμός των άσσων είναι μικρότερος στην υπόλοιπη τράπουλα!


Τι μέρα ήταν......

Ένα απλό κολπάκι για να βρίσκετε τί μέρα της εβδομάδας ήταν μια ημερομηνία στο παρελθόν.
Ο Ιανουάριος έχει 31 μέρες.Αυτό σημαίνει ότι κάθε ημερομηνία το Φεβρουάριο θα είναι 3 μέρες αργότερα από την ίδια μέρα το Γενάρη.(Ο Φεβρουάριος έχει 28 μέρες,δηλαδή ακριβώς 4 εβδομάδες.)
Παρόμοιοι υπολογισμοί έχουν γίνει για όλους τους μήνες του χρόνου και τα αποτελέσματα δίνονται στην παρακάτω στήλη.

Ιανουάριος 0
Φεβρουάριος 3
Μάρτιος 3
Απρίλιος 6
Μάιος 1
Ιούνιος 4
Ιούλιος 6
Αύγουστος 2
Σεπτέμβριος 5
Οκτώβριος 0
Νοέμβριος 3
Δεκέμβριος 5

Αν ψάχνετε για παράδειγμα να βρείτε τι μέρα ήταν στις 19 Ιουνίου 1980
τότε προσθέστε το 19 με τον αριθμό που αντιστοιχεί στον Ιούνιο από τον παραπάνω πίνακα.
Δηλαδή 19+4=23.
Διαιρέστε τα δύο τελευταία ψηφία της χρονιάς με το 4 (κάθε 4 χρόνια είναι δίσεκτο το έτος.)
80/4=20
Αν η διαίρεση δεν γίνεται ακριβώς τότε κρατήστε μόνο το ακέραιο μέρος του αποτελέσματος.
Προσθέστε το αποτέλεσμα που βρήκατε από την πρώτη πρόσθεση,το αποτέλεσμα της διαίρεσης και τα δύο τελευταία ψηφία της χρονιάς.Δηλαδή 23+20+80=123.
Διαιρέστε αυτό που βρήκατε με το 7 (7 ημέρες έχει η εβδομάδα)
Το υπόλοιπο της διαίρεσης αυτής μας δείχνει και την ημέρα που ψάχνουμε.
0 Κυριακή
1 Δευτέρα
2 Τρίτη
3 Τετάρτη
4 Πέμπτη
5 Παρασκευή
6 Σάββατο

Στο παράδειγμα μας 123/7 αφήνει υπόλοιπο 4.
Άρα 19 Ιουνίου 1980  ήταν Πέμπτη!!!!





Πέμπτη, 10 Μαρτίου 2011

Όμορφα μαθηματικά

                                           1x8+1=9
                                         12x8+2=98
                                       123x8+3=987
                                     1234x8+4=9876
                                   12345x8+5=98765
                                 123456x8+6=987654
                               1234567x8+7=9876543
                             12345678x8+8=98765432
                           123456789x8+9=987654321
_____________________________________________________

                                   1x9+2=11
                                 12x9+3=111
                               123x9+4=1111
                             1234x9+5=11111
                           12345x9+6=111111
                         123456x9+7=1111111
                       1234567x9+8=11111111
                     12345678x9+9=111111111
                  123456789x9+10=1111111111
_____________________________________________________

                             9x9+7=88
                           98x9+6=888
                         987x9+5=8888
                       9876x9+4=88888
                     98765x9+3=888888
                   987654x9+2=8888888
                 9876543x9+1=88888888
               98765432x9+0=888888888

______________________________________________________

                                      1x1=1
                                  11x11=121
                              111x111=12321
                          1111x1111=1234321
                      11111x11111=123454321
                  111111x111111=12345654321
              1111111x1111111=1234567654321
          11111111x11111111=123456787654321
      111111111x111111111=12345678987654321
_______________________________________________________

                                             6x7=42
                                         66x67=4422
                                     666x667=444222
                                 6666x6667=44442222
                             66666x66667=4444422222
                         666666x666667=444444222222
                     6666666x6666667=44444442222222
                 66666666x66666667=4444444422222222
..........................................................................................


Τετάρτη, 9 Μαρτίου 2011

Tαυτότητες

Μια γεωμετρική απόδειξη των ταυτοτήτων για την Γ γυμνασίου.

ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ
Ας πάρουμε ένα τετράγωνο πλευράς α, ένα τετράγωνο πλευράς β
και δύο ορθογώνια διαστάσεων α, β όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.


Tο εμβαδόν των τετραγώνων είναι Ε1=α² και Ε2=β² αντίστοιχα 
ενώ του ορθογωνίου Ε3=αβ.
Τα τοποθετούμε κατάλληλα έτσι ώστε να μας φτιάξουν ένα μεγάλο τετράγωνο.


Το νέο τετράγωνο έχει πλευρά α+β άρα το εμβαδόν του είναι Ε=(α+β)²
Έτσι έχουμε      Ε=Ε1 + Ε2 +2Ε3
                Άρα   (α+β)²=α² + β² + 2αβ   !!


ΔΙΑΦΟΡΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ
Ας πάρουμε τώρα τα τετράγωνα του προηγούμενου σχήματος και ας υπολογίσουμε 
την επιφάνεια που ορίζεται από τη διαφορά των εμβαδόν τους.
Η επιφάνεια που θέλουμε να υπολογίσουμε είναι δύο ορθογώνια.
Το ένα διαστάσεων α , α-β  και το άλλο β , α-β.

Άρα         Ε21=α (α-β) + β (α-β)
δηλαδή  α²-β²=α (α-β) + β(α-β)
                  α²-β²= (α+β)(α-β)   !!!

Με την ίδια διαδικασία και με την βοήθεια του παρακάτω σχήματος μπορούμε 
να αποδείξουμε και άλλη μία ταυτότητα.
Οτι (α+β+γ)²=α²+β²+γ²+2αβ+2βγ+2αγ !!!
Τα μαθηματικά είναι απλά και θέλουν φαντασία!!








              





Τρίτη, 8 Μαρτίου 2011

Ο γρίφος του Αινστάιν


Υπάρχουν πέντε σπίτια πέντε διαφορετικών χρωμάτων.
Σε κάθε σπίτι ζει ένας άνθρωπος διαφορετικής εθνικότητας.
Οι πέντε ιδιοκτήτες πίνουν ένα συγκεκριμένο είδος ποτού.
Καπνίζουν μία συγκεκριμένη μάρκα τσιγάρων και έχουν ένα
συγκεκριμένο κατοικίδιο.
'Ολοι έχουν μεταξύ τους διαφορετικά κατοικίδια,
διαφορετικές μάρκες τσιγάρων και διαφορετικά είδη ποτών.

 Η ερώτηση είναι: Ποιος έχει το ψάρι; 

ΣΤΟΙΧΕΙΑ: 1. Ο Αγγλος μένει στο κόκκινο σπίτι.
2. Ο Σουηδός έχει σκύλο.
3. Ο Δανός πίνει τσάι.
4. Το πράσινο σπίτι είναι αριστερά από το άσπρο σπίτι.
5. Ο ιδιοκτήτης του πράσινου σπιτιού πίνει καφέ.
6. Αυτός που καπνίζει Pall mall εκτρέφει πουλιά.
7. O ιδιοκτήτης του κίτρινου σπιτιού καπνίζει Dunhill.
8. Αυτός που μένει στο μεσαίο σπίτι πίνει γάλα.
9. Ο Νορβηγός μένει στο πρώτο σπίτι.
10. Αυτός που καπνίζει Blends μένει δίπλα σ' αυτόν που έχει γάτες.
11. Αυτός που έχει το άλογο μένει δίπλα σ' αυτόν που
       καπνίζει Dunhill.
12. Ο ιδιοκτήτης που καπνίζει BluemaSters πίνει μπύρα.
13. Ο Γερμανός καπνίζει Prince.
14. Ο Νορβηγός μένει δίπλα στο μπλε σπίτι.
15. Αυτός που καπνίζει Blends έχει ένα γείτονα που πΙνει νερό.

Ο Αϊνστάιν έγραψε αυτό το γρίφο στον 20ό αιώνα. Υποστήριξε
ότι το 98%
των ανθρώπων δε μπορούν να τον λύσουν.

Δευτέρα, 7 Μαρτίου 2011

Πυθαγόρειο Θεώρημα


Μια οικογένεια έχει το σπίτι της χτισμένο σε ένα οικόπεδο σχήματος ορθογωνίου τριγώνου με πλευρές α,β,γ.Στον πατέρα ανήκουν και τρία τετράγωνα χωράφια το καθένα με πλευρά όσο και οι πλευρές του τριγώνου,γύρω από το οικόπεδο όπως φαίνεται στο σχήμα.
Θέλει να δώσει τα χωράφια αυτά στους δύο γιους του αλλά χωρίς να αδικήσει κανέναν.Αποφασίζει να δώσει στον ένα το μεγάλο χωράφι (πράσινο) και στον άλλο τα δύο μικρά (κόκκινα).
Τι λέτε είναι δίκαιη η μοιρασιά;
Η απάντηση είναι εύκολη.
Οι δύο αυτές επιφάνειες έχουν ακριβώς το ίδιο εμβαδόν!
Αν Ε είναι το εμβαδόν του μεγάλου τετραγώνου και Ε12 το εμβαδόν των δύο μικρότερων τότε
 Ε=Ε1+Ε2 δηλαδή


Η πρόταση αυτή είναι γνωστή ώς Πυθαγόρειο Θεώρημα και υπάρχουν περισσότερες από 300 αποδείξεις.Εμείς θα δούμε εδώ μία από αυτές.
Τα τετράγωνα στα παρακάτω σχήματα έχουν και τα δύο πλευρά β+γ άρα έχουν το ίδιο εμβαδόν.
Επομένως ισχύει        Ε+4ε=Ε12+4ε
                                      Ε=Ε12
 Το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών!

Πέμπτη, 3 Μαρτίου 2011

Χιονοπόλεμος


Μια μέρα του χειμώνα,που έξω χιονίζει,οι μαθητές θέλουν να βγουν  να παίξουν χιονοπόλεμο.
Ο καθηγητής τους επιτρέπει να πετάξουν μία μόνο χιονόμπαλα ο καθένας και στο άτομο που βρίσκεται πιο κοντά τους.Εάν δύο ή περισσότερα άτομα βρίσκονται στην ίδια απόσταση τότε μπορούν να επιλέξουν τυχαία σε ποιον από αυτούς θα πετάξουν την χιονόμπαλα.
Η ερώτηση είναι ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός χιονόμπαλων που μπορεί να δεχτεί ο πιο άτυχος μαθητής ;


Η απάντηση είναι 6!!!
Για να το δούμε μαζί.Στην αρχή θα σκεφτούμε πως αν οι μαθητές είναι στη σειρά ,τότε ο μέγιστος αριθμός αριθμός χιονόμπαλων που θα δεχτεί ο καθένας είναι δύο.Αλλά μετά ίσως πούμε πως αν οι μαθητές είναι σε έναν κύκλο τότε αυτός που είναι στο κέντρο μπορεί να δεχτεί τις περισσότερες ,πλην μια,τη δική του.Αυτό όμως δεν είναι σωστό γιατί στον κύκλο αυτός που θα είναι δίπλα τους θα είναι πιο κοντά τους.Άρα θα πρέπει να είναι τοποθετημένοι έτσι  ώστε, όσο απέχουν από το κέντρο του κύκλου,τόσο να απέχουν και από το διπλανό τους.Αυτό συμβαίνει αν οι μαθητές σχηματίζουν ένα κανονικό εξάγωνο.

Είναι γνωστό πως οι κορυφές του εξαγώνου απέχουν η μία από την άλλη όσο και η κάθε μία από το κέντρο.Δηλαδή η πλευρά του κανονικού εξαγώνου ισούται με την ακτίνα του κύκλου στον οποίο εγγράφεται το εξάγωνο!

Τετάρτη, 2 Μαρτίου 2011

Το "μυστήριο" των αρνητικών αριθμών

Μαθητής: -3-5=+8
Καθηγητής: Γιατί + ;
Μ.Μα αφού (-)(-) κάνει (+).
Κ.Αυτό ισχύει στον πολλαπλασιασμό,εδώ έχουμε πρόσθεση.
Μ.Πρόσθεση;;;Αφού έχει (-) ανάμεσα.

Τι είναι αυτό που δυσκολεύει τους μαθητές του Γυμνασίου (πολλές φορές και μεγαλύτερους μαθητές) τόσο πολύ στα πρόσημα;
Καταρχήν είναι κάτι απόλυτα δικαιολογημένο.
Ας πάρουμε για παράδειγμα την εξίσωση 6+x=0.
Πως είναι δυνατόν να προσθέτουμε στο 6 μια ποσότητα και να βρίσκουμε μηδέν!!!
Είναι αλήθεια πως οι αρνητικοί αριθμοί αποτελούν για τους μαθητές ένα μυστήριο.
Έυκολα μπορούν να κατανοήσουν  και να δεχτούν την αναγκαιότητα των αρνητικών αριθμών στην ζωή μας με απλά παραδείγματα.Η θερμοκρασία το χειμώνα πέφτει συχνά κάτω από το μηδέν,τα πολυκαταστήματα έχουν συχνά 1,2 ή και 3 ορόφους κάτω από το ισόγειο για parking,η πτώση της στάθμης μιας λίμνης και αν σκεφτούμε μπορούμε να βρούμε και άλλα παρόμοια παραδείγματα.
Το θέμα περιπλέκεται ακόμα περισσότερο όταν αυτούς τους αριθμούς πρέπει να τους προσθέσουμε ή να τους πολλαπλασιάσουμε.
Ας τοποθετήσουμε όλους τους πραγματικούς αριθμούς σε μια ευθεία (άξονας).Στη μέση το μηδέν,δεξιά του μηδενός τους θετικούς αριθμούς, που είναι άπειροι ,και αριστερά του , τους αρνητικους φτιάχνοντας μια όμορφη συμμετρία.
Η πρόσθεση των πραγματικών αριθμών είναι αρκετά απλή , αν το σκεφτούμε λίγο.
Για παράδειγμα -3+5 σημαίνει  (ξεκινώντας από το μηδέν πάντα) να μετακινηθούμε 3 θέσεις προς τα αριστερά και έπειτα 5 θέσεις δεξιά,βρισκόμαστε στο +2.Αντίστοιχα -7+6 σημαίνει να μετακινηθούμε 7 θέσεις προς τα αριστερά και μετά 6 θέσεις δεξιά,θα βρεθούμε στο -1.Όμοια -3-5, 3 θέσεις αριστερά και αλλες 5 θέσεις αριστερά και είμαστε στο -8.
Τι συμβαίνει όμως με τον πολλαπλασιασμό; Γιατί (-2)x(-5)=+10 ; Γιατί όταν υψώνουμε  στο τετράγωνο έναν αρνητικό αριθμό το αποτέλεσμα είναι πάντα θετικό;
Ας ξεκινήσουμε με το γινόμενο 5x(-2).Θα μετακινηθούμε 2 θέσεις αριστερά και θα επαναλάβουμε αυτή τη διαδικασία 5 φορές,άρα θα φτάσουμε στο -10.
Εάν τώρα έχουμε  (-5)x(-2),αυτό σημαίνει πως θα μετακινηθούμε 2 θέσεις προς τα αριστερά και θα επαναλάβουμε αυτή τη διαδικασία 5 φορές αλλά προς την αντίθετη κατεύθυνση,δηλαδή προς τα δεξιά,άρα +10!!!
Ας υποθέσουμε , τέλος, ότι πάνω στην ευθεία των αριθμών,βρίσκεται κάποιος στο μηδέν και δεν κάνει βήμα,κάποιος άλλος κάνει 5 βήματα προς τα δεξιά (+5) και κάποιος άλλος 5 βήματα προς τα αριστερά (-5).Δεν μπορούμε να πούμε οτι οι δύο τελευταίοι έκαναν ακριβώς τα ίδια βήματα;Αυτός που είναι στο -5 δεν έκανε περισσότερα βήματα από αυτόν που έμεινε ακίνητος; 'Αρα όλα είναι θέμα ορισμού και τα μαθηματικά είναι απλά και θέλουν φαντασία!!!



Τρίτη, 1 Μαρτίου 2011

Ξέρω τι σκέφτεστε....

Ας δοκιμάσουμε ένα απλό,πολύ εύκολο προβληματάκι.
Σκεφτείτε έναν αριθμό από το 1 έως το 9.
Πολλαπλασιάστε τον με το 9.
Προσθέστε τα ψηφία του αριθμού που έχετε τώρα. (π.χ. αν έχετε 16 τότε 1+6=7)
Από αυτόν τον αριθμό που βρήκατε αφαιρέστε το 5.
Βρείτε σε ποιο γράμμα της αλφαβήτου αντιστοιχεί το αποτέλεσμα.(π.χ.1=Α, 2=Β, κ.τ.λ)
Σκεφτείτε μία χώρα που αρχίζει από αυτό το γράμμα.
Σκεφτείτε δύο ζώα που να αρχίζουν από το γράμμα που είναι στην αλφαβήτα αμέσως μετά από το γράμμα που είχατε στο προηγούμενο ερώτημα.

Τώρα θα προσπαθήσω να μαντέψω ποια χώρα και ποια ζώα σκεφτήκατε!

Είμαι σχεδόν  σίγουρη ότι η χώρα είναι η Δανία και τα ζώα το ελάφι και ο ελέφαντας.
Μάντεψα σωστά; ε...δεν έκανα και τίποτα σπουδαίο...είναι απλά μαθηματικά!