Παρασκευή, 14 Δεκεμβρίου 2012

Πυκνοί καπνοί......



 Ένας γρίφος που μοιάζει δύσκολος αρχικά αλλά
με λίγη σκέψη και απλά μαθηματικά.....πολύ απλά όμως .....είναι παιχνιδάκι!!

6 άνθρωποι καπνίζουν 6 τσιγάρα σε 6 λεπτά.
Πόσοι άνθρωποι χρειάζονται για να καπνίσουν 80 τσιγάρα σε 48 λεπτά;

Πέμπτη, 5 Ιανουαρίου 2012

Γρίφοι για λύση



1.Ο κυρ Γιώργης φημιζόταν για το καλό κρασί και όλοι έτρεχαν στην ταβέρνα του να γεμίσουν το κανάτι τους από το βαρέλι του.Για να δίνει τις ποσότητες που του ζητούσαν είχε δύο δοχεία το ένα χωρούσε 7 λίτρα και το άλλο 4 λίτρα που τα χρησιμοποιούσε με μεγάλη επιδεξιότητα.Μπορούσε να υπολογίσει οποιαδήποτε ποσότητα λίτρων χωρίς να χαθεί σταγόνα κρασί ενώ αν περίσσευε κάποια ποσότητα την έριχνε πίσω στο βαρέλι.Θα μπορούσατε εσείς να εξυπηρετήσετε έναν πελάτη που ζήτησε 2 λίτρα;

2.Θέλουμε να αφαιρέσουμε 357 από τον 439.Κάνουμε αφαίρεση του 357 από το 999 και ύστερα στη διαφορά  τους προσθέτουμε το 439.Από τον αριθμό που προκύπτει αγνοούμε το 1 από τη θέση των χιλιάδων και προσθέτουμε 1 στις μονάδες και έχουμε το αποτέλεσμα.Είναι σωστό ; Γιατί ;

3.Με μια τεθλασμένη γραμμή που έχει 4 ευθύγραμμα τμήματα ενώστε όλα τα σημεία που φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.
Έπειτα προσπαθήστε με μια τεθλασμένη γραμμή που έχει 6 ευθύγραμμα τμήματα να ενώσετε όλα τα σημεία στο παρακάτω σχήμα.

4.Οχτώ υπουργοί συμφώνησαν να συνεδριάζουν για το ασφαλιστικό κάθε μέρα γύρω από ένα στρογγυλό τραπέζι , αλλά κάθε φορά θα κάθονται με διαφορετική σειρά.Όταν δεν υπάρχει πλέον άλλος διαφορετικός τρόπος να καθίσουν τότε θα σταματήσουν τις συνεδριάσεις και θα ψηφιστεί ο νόμος στον οποίο θα έχουν καταλήξει.Πότε θα ψηφιστεί ο νόμος;



Τετάρτη, 21 Σεπτεμβρίου 2011

Πρώτοι αριθμοί και Βιολογία

"Τα περιοδικά τζιτζίκια,ειδικότερα τα Magicicada septendecim, έχουν το μεγαλύτερο κύκλο ζωής από όλα τα άλλα έντομα.Ο μοναδικός αυτός κύκλος ζωής αρχίζει κάτω από το έδαφος ,όπου οι νύμφες ρουφούν υπομονετικά το χυμό από τις ρίζες των δέντρων.Κατόπιν , ύστερα από 17 χρόνια αναμονής , τα ενήλικα τζιτζίκια βγαίνουν από το έδαφος , μαζεύονται και προσωρινά κατακλύζουν το τοπίο.Μέσα σε λίγες εβδομάδες ζευγαρώνουν , γεννούν τα αβγά τους και πεθαίνουν.
  Το ερώτημα που προβλημάτιζε τους βιολόγους ήταν γιατί ο κύκλος ζωής του τζιτζικιού είναι τόσο μακρύς.Σημαίνει , άραγε , κάτι , το γεγονός οτι αυτός ο κύκλος ζωής είναι πρώτος αριθμός ετών; Ένα άλλο είδος , το Magicicada tredecim , συρρέει κατά σμήνη κάθε δεκατρία χρόνια , υποδηλώνοντας ότι ένας κύκλος ζωής που διαρκεί πρώτο αριθμό ετών προσφέρει κάποια προνόμια στην εξέλιξη.
  Μία θεωρία διατυπώνει την άποψη ότι το τζιτζίκι προσπαθεί να αποφύγει ένα παράσιτο με , επίσης , μεγάλο κύκλο ζωής.Αν το παράσιτο έχει κύκλο ζωής ,λ.χ. , δύο χρόνια , τότε το τζιτζίκι θέλει να αποφύγει έναν κύκλο ζωής που διαιρείται με το 2, αλλιώς το παράσιτο και το τζιτζίκι θα συμίπτουν συχνά.Ομοίως αν το παράσιτο έχει κύκλο ζωής τρία χρόνια , το τζιτζίκι θέλει να αποφύγει έναν κύκλο ζωής που διαιρείται με το 3, αλλιώς επίσης θα συμπίπτουν συχνά.Τελικά , η καλύτερη στρατηγική του τζιτζικιού για να αποφύγει τις συναντήσεις με το παράσιτο είναι να έχει μακρύ κύκλο ζωής , που να διαρκεί πρώτο αριθμό ετών.Επειδή κανένας αριθμός δεν διαιρεί το 17, το Magicicada septendecim σπάνια θα συναντήσει το παράσιτό του.Αν το παράσιτο έχει κύκλο ζωής 2 χρόνια θα συναντιούνται μόνο κάθε 34 χρόνια , ενώ αν έχει μεγαλύτερο κύκλο ζωής , λ.χ. 16 χρόνια , θα συναντιούνται μόνο κάθε 272 (16x17)χρόνια.
   Το παράσιτο , για να αντεπιτεθεί , διαθέτει μόνο δύο κύκλους ζωής που αυξάνουν τη συχνότητα σύμπτωσης -τον ετήσιο κύκλο και τον 17ετή κύκλο όπως το τζιτζίκι.Πάντως είναι απίθανο για το παράσιτο να επιβιώσει επανεμφανιζόμενο 17 χρόνια στη σειρά , αφού στις πρώτες 16 εμφανίσεις του δε θα υπάρχουν τζιτζίκια για να παρασιτίσει.Από την άλλη , με σκοπό να φτάσουν τον 17ετή κύκλο ζωής , οι γενιές των παρασίτων θα έπρεπε να εξελίσσονται κατά το 16ετή κύκλο ζωής.Αυτό θα σήμαινε οτι σε κάποιο στάδιο της εξέλιξης το παράσιτο και το τζιτζίκι δε θα συνέπιπταν για 272 χρόνια!Σε κάθε περίπτωση , ο μακρύς κύκλος πρώτων αριθμών ζωής του τζιτζικιού , το προστατεύει.
   Το γεγονός αυτό εξηγεί ίσως την αιτία που το υποτιθέμενο παράσιτο δεν έχει βρεθεί ποτέ!Στον αγώνα του να συμβαδίσει με το τζιτζίκι , το παράσιτο μπορεί να συνέχισε να επιμηκύνει τον κύκλο ζωής του , μέχρι που έφτασε το φράγμα των 16 ετών.Τότε απέτυχε να συμπέσει με το τζιτζίκι για 272 χρόνια και η μεγάλη αυτή έλλειψη σύμπτωσης το οδήγησε σε εξαφάνιση.Το αποτέλεσμα είναι ένα τζιτζίκι με 17ετή κύκλο ζωής , τον οποίο όμως δεν έχει πια ανάγκη , αφού το παράσιτό του έχει εξαφανιστεί."


Το παραπάνω κείμενο είναι απόσπασμα απο το βιβλίο "ΤΟ ΤΕΛΕΥΤΑΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΦΕΡΜΑ" του Simon Singh, από τις εκδόσεις ΤΡΑΥΛΟΣ






Δευτέρα, 29 Αυγούστου 2011

ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2011-2012

γΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2011-2012

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Από το βιβλίο «Μαθηματικά» της Γ΄ τάξης Γενικού Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης των Ανδρεαδάκη Στ., κ.ά., έκδοση Ο.Ε.Δ.Β. 2011.
ΜΕΡΟΣ Α
Κεφάλαιο 2: Μιγαδικοί αριθμοί
Παρ. 2.1 Η έννοια του Μιγαδικού Αριθμού.
Παρ. 2.2 Πράξεις στο σύνολο C των Μιγαδικών.
Παρ. 2.3 Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού.  
ΜΕΡΟΣ Β
Κεφάλαιο 1: Όριο - Συνέχεια συνάρτησης
Παρ. 1.1 Πραγματικοί αριθμοί.
Παρ. 1.2 Συναρτήσεις.
Παρ. 1.3 Μονότονες συναρτήσεις- Αντίστροφη συνάρτηση.
Παρ. 1.4 Όριο συνάρτησης στο Χο
Παρ. 1.5 Ιδιότητες των ορίων, χωρίς τις αποδείξεις της υποπαραγράφου "Τριγωνομετρικά όρια"
Παρ. 1.6 Μη πεπερασμένο όριο στο Χο.
Παρ. 1.7 Όρια συνάρτησης στο άπειρο.
Παρ. 1.8 Συνέχεια συνάρτησης.
Κεφάλαιο 2: Διαφορικός Λογισμός
Παρ. 2.1 Η έννοια της παραγώγου, χωρίς την υποπαράγραφο "Κατακόρυφη εφαπτομένη"
Παρ. 2.2 Παραγωγίσιμες συναρτήσεις- Παράγωγος συνάρτηση.
Παρ. 2.3 Κανόνες παραγώγισης, χωρίς την απόδειξη του θεωρήματος που αναφέρεται στην παράγωγο γινομένου συναρτήσεων.
Παρ. 2.4 Ρυθμός μεταβολής.
Παρ. 2.5 Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού.
Παρ. 2.6 Συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής.
Παρ. 2.7 Τοπικά ακρότατα συνάρτησης, χωρίς το θεώρημα της σελίδας 264 (κριτήριο της 2ης παραγώγου).
Παρ. 2.8 Κυρτότητα - Σημεία καμπής συνάρτησης. (Θα μελετηθούν μόνο οι συναρτήσεις που είναι δύο, τουλάχιστον, φορές παραγωγίσιμες στο εσωτερικό του πεδίου ορισμού τους).
Παρ. 2.9 Ασύμπτωτες - Κανόνες De l’ Hospital.
Παρ. 2.10 Μελέτη και χάραξη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης.
Κεφάλαιο 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός
Παρ. 3.1 Αόριστο ολοκλήρωμα. (Μόνο η υποπαράγραφος "Αρχική συνάρτηση" που θα συνοδεύτεται από πίνακα παραγουσών συναρτήσεων η οποίος θα περιλαμβάνεται στις διδακτικές οδηγίες)
Παρ. 3.4 Ορισμένο ολοκλήρωμα
Παρ. 3.5. Η συνάρτηση F(x) =
Παρ. 3.7 Εμβαδόν επιπέδου χωρίου, χωρίς την εφαρμογή 3 της σελίδας 348.
Παρατηρήσεις
- Η διδακτέα - εξεταστέα ύλη θα διδαχτεί σύμφωνα με τις οδηγίες του Π.Ι.
- Τα θεωρήματα, οι προτάσεις, οι αποδείξεις και οι ασκήσεις που φέρουν αστερίσκο δε διδάσκονται και δεν εξετάζονται.
- Οι εφαρμογές και τα παραδείγματα των βιβλίων δεν εξετάζονται ούτε ως θεωρία ούτε ως ασκήσεις. Μπορούν, όμως, να χρησιμοποιηθούν ως προτάσεις για τη λύση ασκήσεων ή την απόδειξη άλλων προτάσεων.
- Εξαιρούνται από την εξεταστέα-διδακτέα ύλη οι εφαρμογές και οι ασκήσεις που αναφέρονται σε λογαρίθμους με βάση διαφορετική του e και του 10.