Σάββατο, 26 Φεβρουαρίου 2011

0,999......=1!

Είναι το 1 μεγαλύτερος από το 0,999.....?
(όπου ..... σημαίνει άπειρα εννιάρια)
Η απάντηση είναι ΟΧΙ!
Το 1 είναι ΙΣΟΣ με το 0,999...... και ορίστε μια απλή απόδειξη γι'αυτό.
Έστω οτι    x=0,999......
               10x=9,999......
               10x=9+0,999......
               10x=9+x
               10x-x=9
                 9x=9
                  x=1  όμως x=0,999.....(όπως θεωρήσαμε στην αρχή)
  Άρα    1=0,999.....
Απλά μαθηματικά!

10 σχόλια:

  1. Μία καλύτερη απόδειξη:
    3*(1/3)= 3*0,3333... = 0,9999...
    3*(1/3)=3/3=1
    Άρα 1=0,9999...

    οπότε πολ/ζοντας με 10, 100 κλπ:
    10=9,9999...
    100=99,9999...
    1000=999,9999...
    κλπ

    Πολύ καλή η σελίδα!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Σωστό και αυτό!!
    Έχω και μια ερώτηση για τους δύσπιστους.Αν δεν είναι ίσοι,το 0,999.... και το 1 θα έπρεπε ανάμεσα τους να υπήρχαν άπειροι πραγματικοί.Πώς μπορεί να είναι ένας πραγματικός μεγαλύτερος από το 0,999... και μικρότερος από το 1?Θα είναι 0,999...τι?Τι ψηφίο μπορεί να υπάρχει μετά από άπειρα εννιάρια??

    Σ'ευχαριστώ πολύ!!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. δες κι αυτό:
    Αν κάνεις τις ίδιες πράξεις στο 3αδικο σύστημα, θα δεις οτι δεν εμφανίζονται άπειρα δεκαδικά ψηφια:

    * Το δεκαδικό 3 γράφεται 10 στο τριαδικο
    * Το δεκαδικό 1/3=0.33333 γράφεται 1/10=0.1 στο τριαδικο

    Άρα,

    10 x 1/10 = 10/10 = 1
    10 x 1/10 = 10 x 0.1 = 1

    Άρα,
    στο τριαδικο: 10τρ x 0.1τρ = 1τρ
    Στο δεκαδικό: 3δεκ x 0.3333333δεκ = 10τρ x 0.1τρ = 1τρ = 1 δεκ

    Άρα, στο δεκαδικό, το 3 x 0.3333333 μας κάνει 1, και όχι 0,9999999999

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. επίσης δείτε κι εδώ:
    http://en.wikipedia.org/wiki/0.999

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. Είναι πολύ ενδιαφέρον αυτό που λες, αλλά αν αρχίσουμε να μιλάμε για άλλα συστήματα μέτρησης τότε πολλά πράγματα είναι διαφορετικά!!Σε άλλα συστήματα μέτρησης ούτε καν 1+1=2...!Η αλήθεια είναι πως πολύς κόσμος δυκολεύεται να δεχτεί πως το 0.999.... και το 1 είναι ο ίδιος αριθμός με διαφορετικό συμβολισμό, ενώ δέχεται εύκολα για παράδειγμα ότι 0.5=1/2!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  6. den isxyei se kamia periptwsh!!to 0.9999.. tinei na ginei 1 alla den ginete pote...

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  7. Αν και δεν αποτελει εγκυρη μαθηματικη αποδειξη αυτη που παραθετεις, το 0.999...=1 ισχυει

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  8. Γνωστός Άγνωστος30 Οκτωβρίου 2013 - 1:38 μ.μ.

    Καλησπέρα. Το θέμα ΔΕΝ είναι απλό και δικαίως απασχόλησε χρόνια τους Μαθηματικούς. Το "παράδοξο" (αν το δούμε έτσι), προκύπτει από το μπλέξιμο απειροστών αριθμών με τους πραγματικούς. Το βέβαιο είναι ότι για τον πραγματικό μας κόσμο όπου οποιαδήποτε πεπερασμένη ποσότητα απειροστών αμελείται (δικαίως!), η ισότητα ισχύει. Θα έλεγα ωστόσο, ότι ΠΑΝΤΑ όμως εξακολουθεί να παραμένει ένα... ενοχλητικό απειροστό, που απλά... κοιμάται. Αν θέλετε όμως, μπορεί να "ξυπνήσει" με εκπληκτικά αποτελέσματα! Απλά υψώστε την παρένθεση -ας πούμε- (1+dx) είς το άπειρο....Τί προκύπτει? Καλό, e? :) (e=2,71... >>>> 1 !!). Αν θέλετε την προσωπική μου άποψη στο θέμα, είναι ότι παραστάσεις τύπου [α-dx] μπορούν (και πρέπει) να θεωρούνται ίσες με α στον πραγματικό μας κόσμο. Και αυτό γιατί η διαφορά τους μπορεί να φανεί τελικά μόνο μέσα από ειδικές διαδικασίες (όπως η προηγούμενη). Δηλαδή, ενώ θεωρούμε 1+ dx = 1, προκύπτει ότι (1+dx)^άπειρο ΔΕΝ είναι 1^άπειρο! Όμως, για τον πραγματικό μας κόσμο, θα έλεγα ότι το σχόλιο της Roxani(s) είναι απόλυτα κατατοπιστικό!. (το θέμα σηκώνει αρκετή ακόμη κουβέντα, αλλά...είναι αδύνατο μέσα από εδώ!!!).

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  9. Γνωστός Άγνωστος30 Οκτωβρίου 2013 - 1:55 μ.μ.

    Μικρή προσθήκη στο προηγούμενο σχόλιο! Τελικά λοιπόν, ΌΛΟΙ έχουν δίκιο : αυτοί που λένε ότι 0,9999.... δεν είναι αριθμός αλλά όριο (πράγματι, το dx δεν είναι μιά καθορισμένη πραγματική ποσότητα αλλά ένα όριο, και μάλιστα εξαρτάται και από το ρυθμό που προσεγγίζει το μηδέν - δηλαδή την έκφραση από την οποία πηγάζει το dx που επιλέγουμε). Δίκιο έχουν εκείνοι που εξισώνουν τις δυο παραστάσεις - αφού όπως λένε τελικά η τιμή του ορίου [1+dx], [1-dx], [1-5dx] κλπ κάνει ένα, και τέλος επίσης δίκιο έχουν εκείνοι που θα πούνε ότι οι αριθμοί (αν τους πούμε έτσι) 0,999... και 1 ΔΕΝ είναι οι ίδιοι, αφού -όπως φάνηκε - υπάρχουν και διαδικασίες που το αποδεικνύουν! Όμως, πρέπει να επισημανθεί ότι σε καμία περίπτωση στους πραγματικούς αριθμούς δεν υπάρχει τρόπος να "δεις" την όποια διαφορά υπάρχει μεταξύ 0,999... και 1 (χωρίς "κολπάκια" όπως το να υψώσουμε στο άπειρο!). Θα κλείσω λοιπόν λέγοντας ότι η περίπτωση αυτή είναι από εκείνες όπου τελικά δεν υπάρχει λάθος, αλλά επιβάλλονται διευκρινίσεις!
    Φιλικά, Άγνωστος.

    ΑπάντησηΔιαγραφή