Β Γυμνασίου

Ασκήσεις μαθηματικών για τη Β Γυμνασίου

Ρητοί αριθμοί και εξισώσεις

Πυθαγόρειο Θεώρημα και Τετραγωνική Ρίζα

Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

Συναρτήσεις

Πυθαγόρειο Θεώρημα

Μια οικογένεια έχει το σπίτι της χτισμένο σε ένα οικόπεδο σχήματος ορθογωνίου τριγώνου με πλευρές α,β,γ.Στον πατέρα ανήκουν και τρία τετράγωνα χωράφια το καθένα με πλευρά όσο και οι πλευρές του τριγώνου,γύρω από το οικόπεδο όπως φαίνεται στο σχήμα.

Θέλει να δώσει τα χωράφια αυτά στους δύο γιους του αλλά χωρίς να αδικήσει κανέναν.Αποφασίζει να δώσει στον ένα το μεγάλο χωράφι (πράσινο) και στον άλλο τα δύο μικρά (κόκκινα).
Τι λέτε είναι δίκαιη η μοιρασιά;
Η απάντηση είναι εύκολη.
Οι δύο αυτές επιφάνειες έχουν ακριβώς το ίδιο εμβαδόν!
Αν Ε είναι το εμβαδόν του μεγάλου τετραγώνου και Ε1+Ε2 το εμβαδόν των δύο μικρότερων τότε
 Ε=Ε1+Ε2 δηλαδή

Η πρόταση αυτή είναι γνωστή ώς Πυθαγόρειο Θεώρημα και υπάρχουν περισσότερες από 300 αποδείξεις.Εμείς θα δούμε εδώ μία από αυτές.
Τα τετράγωνα στα παρακάτω σχήματα έχουν και τα δύο πλευρά β+γ άρα έχουν το ίδιο εμβαδόν.

Επομένως ισχύει        Ε+4ε=Ε1+Ε2+4ε
                                      Ε=Ε1+Ε2

 Το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών!

Χιονοπόλεμος

Μια μέρα του χειμώνα,που έξω χιονίζει,οι μαθητές θέλουν να βγουν  να παίξουν χιονοπόλεμο.
Ο καθηγητής τους επιτρέπει να πετάξουν μία μόνο χιονόμπαλα ο καθένας και στο άτομο που βρίσκεται πιο κοντά τους.Εάν δύο ή περισσότερα άτομα βρίσκονται στην ίδια απόσταση τότε μπορούν να επιλέξουν τυχαία σε ποιον από αυτούς θα πετάξουν την χιονόμπαλα.
Η ερώτηση είναι ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός χιονόμπαλων που μπορεί να δεχτεί ο πιο άτυχος μαθητής ;


Η απάντηση είναι 6!!!
Για να το δούμε μαζί.Στην αρχή θα σκεφτούμε πως αν οι μαθητές είναι στη σειρά ,τότε ο μέγιστος αριθμός αριθμός χιονόμπαλων που θα δεχτεί ο καθένας είναι δύο.Αλλά μετά ίσως πούμε πως αν οι μαθητές είναι σε έναν κύκλο τότε αυτός που είναι στο κέντρο μπορεί να δεχτεί τις περισσότερες ,πλην μια,τη δική του.Αυτό όμως δεν είναι σωστό γιατί στον κύκλο αυτός που θα είναι δίπλα τους θα είναι πιο κοντά τους.Άρα θα πρέπει να είναι τοποθετημένοι έτσι  ώστε, όσο απέχουν από το κέντρο του κύκλου,τόσο να απέχουν και από το διπλανό τους.Αυτό συμβαίνει αν οι μαθητές σχηματίζουν ένα κανονικό εξάγωνο.

Είναι γνωστό πως οι κορυφές του εξαγώνου απέχουν η μία από την άλλη όσο και η κάθε μία από το κέντρο.Δηλαδή η πλευρά του κανονικού εξαγώνου ισούται με την ακτίνα του κύκλου στον οποίο εγγράφεται το εξάγωνο!

Παραγγελία πίτσας!

Ένα απλό πρόβλημα για τους μαθητές της Β Γυμνασίου (και όχι μόνο!)
Θέλουμε να παραγγείλουμε μια πίτσα.Ανοίγουμε ένα διαφημιστικό φυλλάδιο μιας πιτσαρίας της αρεσκείας μας.Το κατάστημα μας προτείνει είτε να πάρουμε μια τετράγωνη πίτσα πλευράς 30cm είτε μια κυκλική (και όχι στρόγγυλη!!) διαμέτρου 30cm με ακριβώς τα ίδα υλικά και ακριβώς στην ίδια τιμή.
Εδώ να θυμίσουμε οτι διάμετρος ενός κύκλου είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία του κύκλου (μια χορδή δηλαδή) που περνάει και από το κέντρο του κύκλου.

Η εικόνα δείχνει πως θα είναι οι πίτσες,τα υλικά βάλτε τα εσείς με τη φαντασία σας!






Για να δούμε!
Το εμβαδόν τη τετράγωνης πίτσας θα είναι:

Ενώ της κυκλικής:

Μας συμφέρει σίγουρα να πάρουμε την τετράγωνη!Αυτό νομίζω οτι είναι εύκολο.Από διαίσθηση και μόνο θα επιλέγαμε αυτήν.
Η ίδια πιτσαρία τώρα μας προτείνει και το εξής.
Μπορούμε είτε να πάρουμε την παραπάνω οικογενειακή είτε 4 ατομικές στην ίδια τιμή!

Τι θα προτιμούσατε σε αυτήν την περίπτωση;
Η αλήθεια είναι πως πάλι την τετράγωνη θα επιλέγαμε αφού μιλάμε για την ίδια πιτσαρία αλλά ας υποθέσουμε οτι έχουμε αυτές τις δύο επιλογές μόνο.
Ας δούμε πόσο είναι το εμβαδόν των τεσσάρων μικρών κύκλων μαζί.

Δηλαδή ακριβώς το ίδιο!
Ο καταστηματάρχης όμως,που γνωρίζει απλά μαθηματικά,χαμηλώνει την τιμή της κυκλικής πίτσας κατά ένα ευρώ για να μας δελεάσει.Αν λοιπόν η τετραγωνη πίτσα του πρώτου προβλήματος κοστίζει 7 ευρώ ενώ η κυκλική 6 ευρώ,ποια μας συμφέρει τώρα να αγοράσουμε;Εσείς ποια θα προτιμούσατε;
Για σκεφτείτε το και καλή όρεξη!