Τετάρτη, 2 Μαρτίου 2011

Το "μυστήριο" των αρνητικών αριθμών

Μαθητής: -3-5=+8
Καθηγητής: Γιατί + ;
Μ.Μα αφού (-)(-) κάνει (+).
Κ.Αυτό ισχύει στον πολλαπλασιασμό,εδώ έχουμε πρόσθεση.
Μ.Πρόσθεση;;;Αφού έχει (-) ανάμεσα.

Τι είναι αυτό που δυσκολεύει τους μαθητές του Γυμνασίου (πολλές φορές και μεγαλύτερους μαθητές) τόσο πολύ στα πρόσημα;
Καταρχήν είναι κάτι απόλυτα δικαιολογημένο.
Ας πάρουμε για παράδειγμα την εξίσωση 6+x=0.
Πως είναι δυνατόν να προσθέτουμε στο 6 μια ποσότητα και να βρίσκουμε μηδέν!!!
Είναι αλήθεια πως οι αρνητικοί αριθμοί αποτελούν για τους μαθητές ένα μυστήριο.
Έυκολα μπορούν να κατανοήσουν  και να δεχτούν την αναγκαιότητα των αρνητικών αριθμών στην ζωή μας με απλά παραδείγματα.Η θερμοκρασία το χειμώνα πέφτει συχνά κάτω από το μηδέν,τα πολυκαταστήματα έχουν συχνά 1,2 ή και 3 ορόφους κάτω από το ισόγειο για parking,η πτώση της στάθμης μιας λίμνης και αν σκεφτούμε μπορούμε να βρούμε και άλλα παρόμοια παραδείγματα.
Το θέμα περιπλέκεται ακόμα περισσότερο όταν αυτούς τους αριθμούς πρέπει να τους προσθέσουμε ή να τους πολλαπλασιάσουμε.
Ας τοποθετήσουμε όλους τους πραγματικούς αριθμούς σε μια ευθεία (άξονας).Στη μέση το μηδέν,δεξιά του μηδενός τους θετικούς αριθμούς, που είναι άπειροι ,και αριστερά του , τους αρνητικους φτιάχνοντας μια όμορφη συμμετρία.
Η πρόσθεση των πραγματικών αριθμών είναι αρκετά απλή , αν το σκεφτούμε λίγο.
Για παράδειγμα -3+5 σημαίνει  (ξεκινώντας από το μηδέν πάντα) να μετακινηθούμε 3 θέσεις προς τα αριστερά και έπειτα 5 θέσεις δεξιά,βρισκόμαστε στο +2.Αντίστοιχα -7+6 σημαίνει να μετακινηθούμε 7 θέσεις προς τα αριστερά και μετά 6 θέσεις δεξιά,θα βρεθούμε στο -1.Όμοια -3-5, 3 θέσεις αριστερά και αλλες 5 θέσεις αριστερά και είμαστε στο -8.
Τι συμβαίνει όμως με τον πολλαπλασιασμό; Γιατί (-2)x(-5)=+10 ; Γιατί όταν υψώνουμε  στο τετράγωνο έναν αρνητικό αριθμό το αποτέλεσμα είναι πάντα θετικό;
Ας ξεκινήσουμε με το γινόμενο 5x(-2).Θα μετακινηθούμε 2 θέσεις αριστερά και θα επαναλάβουμε αυτή τη διαδικασία 5 φορές,άρα θα φτάσουμε στο -10.
Εάν τώρα έχουμε  (-5)x(-2),αυτό σημαίνει πως θα μετακινηθούμε 2 θέσεις προς τα αριστερά και θα επαναλάβουμε αυτή τη διαδικασία 5 φορές αλλά προς την αντίθετη κατεύθυνση,δηλαδή προς τα δεξιά,άρα +10!!!
Ας υποθέσουμε , τέλος, ότι πάνω στην ευθεία των αριθμών,βρίσκεται κάποιος στο μηδέν και δεν κάνει βήμα,κάποιος άλλος κάνει 5 βήματα προς τα δεξιά (+5) και κάποιος άλλος 5 βήματα προς τα αριστερά (-5).Δεν μπορούμε να πούμε οτι οι δύο τελευταίοι έκαναν ακριβώς τα ίδια βήματα;Αυτός που είναι στο -5 δεν έκανε περισσότερα βήματα από αυτόν που έμεινε ακίνητος; 'Αρα όλα είναι θέμα ορισμού και τα μαθηματικά είναι απλά και θέλουν φαντασία!!!



9 σχόλια:

  1. Μπορείς να μας εξηγήσεις σε παρακαλώ όλες τις ιδιότητες ας το πω, των προσήμων; Διότι είμαι 2α λυκείου και ακόμη έχω μεγάλο πρόβλημα και τα μπερδεύω.. :((

    Π.χ. όταν έχουμε παρενθέσεις και της βγάζουμε, πότε αλλάζει το πρόσημο και τα λοιπά.... αν γίνεται.
    Σε ευχαριστώ πολύ. :)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Θα σου δώσω τους ορισμούς όπως υπάρχουν στο βιβλίο της α' γυμνασίου.
    * Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους ρητούς αριθμούς,προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και βάζουμε τοπρόσημό τους.π.χ. +3+5=+8 ,-3-5=-8
    * Για να προσθέσουμε δύο ετερόσημους αριθμούς, αφαιρούμε τις απόλυτες τιμές τους και βάζουμε το πρόσημο του αριθμού με την μεγαλύτερη απόλυτη τιμή. π.χ -3+5=+2 , +5-3=+2
    * Για να πολλαπλασιάσουμε δύο αριθμούς πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και αν είναι ομόσημοι βάζουμε + ενώ αν είναι ετερόσημοι βάζουμε -. π.χ. (-2)(-3)=+6 , (-2)(+3)=-6
    * όταν μια παρένθεση έχει μπροστά της το + (ή δεν έχει καθόλου πρόσημο) , μπορούμε να την απαλείψουμε μαζίμε το + (αν έχει) και να γράψουμε τους όρους που περιέχει με τα πρόσημα τους.όταν μια παρένθεση έχει μπροστά της το - μπορούμε να την απαλείψουμε μαζί με το - και να γράψουμε τους όρους που περιέχει με αντίθετα πρόσημα.
    Αν θέλεις περισσότερες επεξηγήσεις πες μου !!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Εγω δεν καταλαβα οταν λετε -3+5=+2
      ειμαι γ γυμνασιου και ακομη δεν το καταλαβαινω δηλδ .βαζω τον αξονα των πραγματικων αριθμων στο μυαλο μ
      αλλα μπερδευομαι πως να λειτουργω ,τι να κανω??? please βοηθεια

      Διαγραφή
    2. ΖΗΤΩ ΟΙ ΠΑΡΕΝΘΕΣΕΙΣ23 Ιουνίου 2013 - 6:37 π.μ.

      Ο πολλαπλασιασμός είναι πρόσθεση ανα πολλαπλάσιο.

      π.χ 4+4=8 4χ4=+16
      στο 4+4 έχουμε: (+1+1+1+1)+(+1+1+1+1)=+8
      και στο 4χ4 έχουμε:(+1+1+1+1)+(+1+1+1+1)+(+1+1+1+1)+(+1+1+1+1)=+16

      π.χ

      Στο -4 + -4= 0

      έχουμε από το -4 προς το μηδέν και από το + 4 προς το μηδέν.


      Στο -4χ-4=+16

      έχουμε απο αριστερά προς τα δεξια: απο το -16 προς το μηδεν (-1-1-1-1)- (-1-1-1-1) -(-1-1-1-1) - (-1-1-1-1) και απο δεξιά προς τα αριστερά: από το +16 (+1+1+1+1)- (+1+1+1+1)-(+1+1+1+1)-(+1+1+1+1)

      Δηλαδή μετράμε θέσεις βγάζοντας τες από το - 4 προς το μηδέν έχουμε: βγάζουμε μια θεση -3 βγάζουμε άλλη μια θεση -2 βγάζουμε άλλη μια θέση -1 βγάζουμε άλλη μια θέση 0 σύνολο 4 θέσεις άρα κάθε θέση -1

      Το ίδιο από το +4 προς το μηδέν έχουμε: βγάζουμε μια θεση +3 βγάζουμε άλλη μια θεση +2 βγάζουμε άλλη μια θέση +1 βγάζουμε άλλη μια θέση 0 σύνολο 4 θέσεις άρα κάθε θέση +1

      Διαγραφή
    3. ΖΗΤΩ ΟΙ ΠΑΡΕΝΘΕΣΕΙΣ23 Ιουνίου 2013 - 6:57 π.μ.

      και στον πολλαπλασιασμό μετράμε θέσεις ανά προσθετοντας (ο πολλπαλασιασμός είναι πάντοτε προσθετικος) αντι να καταλήξουν από το - μειον στο μηδεν καταληγουν στο συν +
      Ειναι σαν να κανεις προσθεη δηλαδη.

      Διαγραφή
  3. Έφτιαξα και εγώ ένα θέμα στο blog μου γιατί το γινόμενο δυο αρνητικώ αριθμών μας κάνει εναν θετικο αριθμό.
    Μπορείς να το δεις εδώ http://kouax.blogspot.co.uk/2013/05/blog-post.html

    Περιμένω σχόλια

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. ΖΗΤΩ ΟΙ ΠΑΡΕΝΘΕΣΕΙΣ22 Ιουνίου 2013 - 9:53 μ.μ.

    ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΠΟΥ ΜΠΕΡΔΕΥΕΙ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΕΙΝΑΙ ΟΤΑΝ ΘΕΛΟΥΜΕ ΝΑ ΑΦΑΙΡΕΣΟΥΜΕ 2 ΑΡΝΗΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ

    ΔΗΛΑΔΗ ΘΕΛΟΥΜΕ ΝΑ ΚΑΝΟΥΜΕ ΤΗΝ ΕΞΗΣ ΑΦΑΙΡΕΣΗ:

    -3 - -5

    ΤΟ ΣΩΣΤΟ ΕΙΝΑΙ: (-3)-(-5)=+2

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. ΖΗΤΩ ΟΙ ΠΑΡΕΝΘΕΣΕΙΣ22 Ιουνίου 2013 - 9:57 μ.μ.

      Μαθητής: -3-5=+8
      Καθηγητής: Γιατί + ;
      Μ.Μα αφού (-)(-) κάνει (+).
      Κ.Αυτό ισχύει στον πολλαπλασιασμό,εδώ έχουμε πρόσθεση.
      Μ.Πρόσθεση;;;Αφού έχει (-) ανάμεσα.

      ΕΔΩ ΕΧΟΥΜΕ:

      -3 - +5
      ΑΡΑ ΤΟ ΣΩΣΤΟΣ ΕΙΝΑΙ:

      (-3) - (+5) = -8

      Διαγραφή
    2. ΖΗΤΩ ΟΙ ΠΑΡΕΝΘΕΣΕΙΣ22 Ιουνίου 2013 - 10:00 μ.μ.

      ΟΣΟΝ ΑΦΟΡΑ ΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΟΤΑΝ ΚΙΝΕΙΣΑΙ ΑΡΙΣΤΕΡΑ ΑΦΑΙΡΕΙΣ ΚΑΙ ΟΤΑΝ ΚΙΝΕΙΣΑΙ ΔΕΞΙΑ ΠΡΟΣΘΤΕΙΣ

      Διαγραφή