Β Λυκείου

Τυπολόγια για κάποια κεφάλαια των μαθηματικών της  Β λυκείου

Άλγεβρα 

Τριγωνομετρία

Πολυώνυμα

Πρόοδοι

Γεωμετρία

Μετρικές Σχέσεις

Εμβαδά

Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Διανύσματα

Ευθεία 1

Ευθεία 2

Γ γυμνασίου

Ασκήσεις μαθηματικών για την Γ γυμνασίου

Αλγεβρικές παραστάσεις-Ταυτότητες-Παραγοντοποίηση

Εξισώσεις

Συναρτήσεις

Ισότητα και Ομοιότητα τριγώνων

Τριγωνομετρία

Β Γυμνασίου

Ασκήσεις μαθηματικών για τη Β Γυμνασίου

Ρητοί αριθμοί και εξισώσεις

Πυθαγόρειο Θεώρημα και Τετραγωνική Ρίζα

Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

Συναρτήσεις

Πρώτοι αριθμοί και Βιολογία

"Τα περιοδικά τζιτζίκια,ειδικότερα τα Magicicada septendecim, έχουν το μεγαλύτερο κύκλο ζωής από όλα τα άλλα έντομα.Ο μοναδικός αυτός κύκλος ζωής αρχίζει κάτω από το έδαφος ,όπου οι νύμφες ρουφούν υπομονετικά το χυμό από τις ρίζες των δέντρων.Κατόπιν , ύστερα από 17 χρόνια αναμονής , τα ενήλικα τζιτζίκια βγαίνουν από το έδαφος , μαζεύονται και προσωρινά κατακλύζουν το τοπίο.Μέσα σε λίγες εβδομάδες ζευγαρώνουν , γεννούν τα αβγά τους και πεθαίνουν.
  Το ερώτημα που προβλημάτιζε τους βιολόγους ήταν γιατί ο κύκλος ζωής του τζιτζικιού είναι τόσο μακρύς.Σημαίνει , άραγε , κάτι , το γεγονός οτι αυτός ο κύκλος ζωής είναι πρώτος αριθμός ετών; Ένα άλλο είδος , το Magicicada tredecim , συρρέει κατά σμήνη κάθε δεκατρία χρόνια , υποδηλώνοντας ότι ένας κύκλος ζωής που διαρκεί πρώτο αριθμό ετών προσφέρει κάποια προνόμια στην εξέλιξη.
  Μία θεωρία διατυπώνει την άποψη ότι το τζιτζίκι προσπαθεί να αποφύγει ένα παράσιτο με , επίσης , μεγάλο κύκλο ζωής.Αν το παράσιτο έχει κύκλο ζωής ,λ.χ. , δύο χρόνια , τότε το τζιτζίκι θέλει να αποφύγει έναν κύκλο ζωής που διαιρείται με το 2, αλλιώς το παράσιτο και το τζιτζίκι θα συμίπτουν συχνά.Ομοίως αν το παράσιτο έχει κύκλο ζωής τρία χρόνια , το τζιτζίκι θέλει να αποφύγει έναν κύκλο ζωής που διαιρείται με το 3, αλλιώς επίσης θα συμπίπτουν συχνά.Τελικά , η καλύτερη στρατηγική του τζιτζικιού για να αποφύγει τις συναντήσεις με το παράσιτο είναι να έχει μακρύ κύκλο ζωής , που να διαρκεί πρώτο αριθμό ετών.Επειδή κανένας αριθμός δεν διαιρεί το 17, το Magicicada septendecim σπάνια θα συναντήσει το παράσιτό του.Αν το παράσιτο έχει κύκλο ζωής 2 χρόνια θα συναντιούνται μόνο κάθε 34 χρόνια , ενώ αν έχει μεγαλύτερο κύκλο ζωής , λ.χ. 16 χρόνια , θα συναντιούνται μόνο κάθε 272 (16x17)χρόνια.
   Το παράσιτο , για να αντεπιτεθεί , διαθέτει μόνο δύο κύκλους ζωής που αυξάνουν τη συχνότητα σύμπτωσης -τον ετήσιο κύκλο και τον 17ετή κύκλο όπως το τζιτζίκι.Πάντως είναι απίθανο για το παράσιτο να επιβιώσει επανεμφανιζόμενο 17 χρόνια στη σειρά , αφού στις πρώτες 16 εμφανίσεις του δε θα υπάρχουν τζιτζίκια για να παρασιτίσει.Από την άλλη , με σκοπό να φτάσουν τον 17ετή κύκλο ζωής , οι γενιές των παρασίτων θα έπρεπε να εξελίσσονται κατά το 16ετή κύκλο ζωής.Αυτό θα σήμαινε οτι σε κάποιο στάδιο της εξέλιξης το παράσιτο και το τζιτζίκι δε θα συνέπιπταν για 272 χρόνια!Σε κάθε περίπτωση , ο μακρύς κύκλος πρώτων αριθμών ζωής του τζιτζικιού , το προστατεύει.
   Το γεγονός αυτό εξηγεί ίσως την αιτία που το υποτιθέμενο παράσιτο δεν έχει βρεθεί ποτέ!Στον αγώνα του να συμβαδίσει με το τζιτζίκι , το παράσιτο μπορεί να συνέχισε να επιμηκύνει τον κύκλο ζωής του , μέχρι που έφτασε το φράγμα των 16 ετών.Τότε απέτυχε να συμπέσει με το τζιτζίκι για 272 χρόνια και η μεγάλη αυτή έλλειψη σύμπτωσης το οδήγησε σε εξαφάνιση.Το αποτέλεσμα είναι ένα τζιτζίκι με 17ετή κύκλο ζωής , τον οποίο όμως δεν έχει πια ανάγκη , αφού το παράσιτό του έχει εξαφανιστεί."


Το παραπάνω κείμενο είναι απόσπασμα απο το βιβλίο "ΤΟ ΤΕΛΕΥΤΑΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΦΕΡΜΑ" του Simon Singh, από τις εκδόσεις ΤΡΑΥΛΟΣ

ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2011-2012

γΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2011-2012

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

(Απόσπασμα από το ΦΕΚ 1698/2011 με την εξεταστέα ύλη ημερήσιων και εσπερινών λυκείων 2011-2012)

Από το βιβλίο «Μαθηματικά» της Γ΄ τάξης Γενικού Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης των Ανδρεαδάκη Στ., κ.ά., έκδοση Ο.Ε.Δ.Β. 2011.
ΜΕΡΟΣ Α
Κεφάλαιο 2: Μιγαδικοί αριθμοί
Παρ. 2.1 Η έννοια του Μιγαδικού Αριθμού.
Παρ. 2.2 Πράξεις στο σύνολο C των Μιγαδικών.
Παρ. 2.3 Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού.  
ΜΕΡΟΣ Β
Κεφάλαιο 1: Όριο - Συνέχεια συνάρτησης
Παρ. 1.1 Πραγματικοί αριθμοί.
Παρ. 1.2 Συναρτήσεις.
Παρ. 1.3 Μονότονες συναρτήσεις- Αντίστροφη συνάρτηση.
Παρ. 1.4 Όριο συνάρτησης στο Χο
Παρ. 1.5 Ιδιότητες των ορίων, χωρίς τις αποδείξεις της υποπαραγράφου "Τριγωνομετρικά όρια"
Παρ. 1.6 Μη πεπερασμένο όριο στο Χο.
Παρ. 1.7 Όρια συνάρτησης στο άπειρο.
Παρ. 1.8 Συνέχεια συνάρτησης.
Κεφάλαιο 2: Διαφορικός Λογισμός
Παρ. 2.1 Η έννοια της παραγώγου, χωρίς την υποπαράγραφο "Κατακόρυφη εφαπτομένη"
Παρ. 2.2 Παραγωγίσιμες συναρτήσεις- Παράγωγος συνάρτηση.
Παρ. 2.3 Κανόνες παραγώγισης, χωρίς την απόδειξη του θεωρήματος που αναφέρεται στην παράγωγο γινομένου συναρτήσεων.
Παρ. 2.4 Ρυθμός μεταβολής.
Παρ. 2.5 Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού.
Παρ. 2.6 Συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής.
Παρ. 2.7 Τοπικά ακρότατα συνάρτησης, χωρίς το θεώρημα της σελίδας 264 (κριτήριο της 2ης παραγώγου).
Παρ. 2.8 Κυρτότητα - Σημεία καμπής συνάρτησης. (Θα μελετηθούν μόνο οι συναρτήσεις που είναι δύο, τουλάχιστον, φορές παραγωγίσιμες στο εσωτερικό του πεδίου ορισμού τους).
Παρ. 2.9 Ασύμπτωτες - Κανόνες De l’ Hospital.
Παρ. 2.10 Μελέτη και χάραξη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης.
Κεφάλαιο 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός
Παρ. 3.1 Αόριστο ολοκλήρωμα. (Μόνο η υποπαράγραφος "Αρχική συνάρτηση" που θα συνοδεύτεται από πίνακα παραγουσών συναρτήσεων η οποίος θα περιλαμβάνεται στις διδακτικές οδηγίες)
Παρ. 3.4 Ορισμένο ολοκλήρωμα
Παρ. 3.5. Η συνάρτηση F(x) =
Παρ. 3.7 Εμβαδόν επιπέδου χωρίου, χωρίς την εφαρμογή 3 της σελίδας 348.
Παρατηρήσεις
- Η διδακτέα - εξεταστέα ύλη θα διδαχτεί σύμφωνα με τις οδηγίες του Π.Ι.
- Τα θεωρήματα, οι προτάσεις, οι αποδείξεις και οι ασκήσεις που φέρουν αστερίσκο δε διδάσκονται και δεν εξετάζονται.
- Οι εφαρμογές και τα παραδείγματα των βιβλίων δεν εξετάζονται ούτε ως θεωρία ούτε ως ασκήσεις. Μπορούν, όμως, να χρησιμοποιηθούν ως προτάσεις για τη λύση ασκήσεων ή την απόδειξη άλλων προτάσεων.
- Εξαιρούνται από την εξεταστέα-διδακτέα ύλη οι εφαρμογές και οι ασκήσεις που αναφέρονται σε λογαρίθμους με βάση διαφορετική του e και του 10.

Η σπαζοκεφαλιά με τους κύκλους

Μπορείτε να τοποθετήσετε έναν από τους αριθμούς 1,2,3,4,5,6,7,8,9
σε κάθε ένα από τα 9 καμπυλόγραμμα μέρη που
δημιουργήθηκαν από τους κύκλους
έτσι ώστε το άθροισμα των αριθμών σε κάθε
κύκλο να είναι το 11;

Σχετικά με το π

Τι είναι το π ?
1. Το 16ο γράμμα του ελληνικού αλφαβήτου
2.Μαθ. α) Το γράμμα π συμβολίζει το λόγο της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του.
             β) Ο αριθμός 3,141592.....

 Γνωρίζετε όμως ότι :

-Το πρώτο εκατομμύριο δεκαδικών ψηφίων του π αποτελέιται από 99.959 μηδενικά,99.758 μονάδες, 100.026 δυάρια, 100.229 τριάρια, 100.230 τεσσάρια, 100.359 πεντάρια, 99.548 εξάρια, 99.800 επτάρια, 99.985 οκτάρια και 100.106 εννιάρια.

-Η ακολουθία 123456789 εμφανίζεται για πρώτη φορά στο 523.551.502ο ψηφίο.

-Τα πρώτα 144 ψηφία του π έχουν άθροισμα 666.

-Ο Αινσταιν γεννήθηκε στην Ουλμ της Γερμανίας μια μέρα που θυμίζει το π: τον 3ο μήνα,τη 14η μέρα του 1879.

-Πι είναι η ονομασία της ανατολικογερμανικής κατασκοπευτικής οργάνωσης στην ταινία του Άλφρεντ Χίτσκοκ : Σχισμένο παραπέτασμα.

-Το Φεβρουάριο του 1995 ο Χιρογιούκι Γκότο σημείωσε νέο παγκόσμιο ρεκόρ , απαγγέλοντας από μνήμης 42.000 ψηφία του π. Του πήρε λίγο περισσότερο από 9 ώρες.

-π είναι ο λόγος του εμβαδού του κύκλου προς το εμβαδόν τετραγώνου που η πλευρά του είναι ίση με την ακτίνα του κύκλου.

'Ισως κανένα άλλο μαθηματικό σύμβολο δεν γέννησε τόσο μυστήριο,ρομαντισμό , παρανοήσεις και ανθρώπινο ενδιαφέρον όσο ο αριθμός π.

Για περισσότερα διαβάστε εδώ :www.joyofpi.com

Το πρόβλημα με τα αυγά

Υπάρχουν τριών ειδών αυγά.
Τα αυγά Α που κοστίζουν 0,50 ευρώ το ένα,
τα αυγά Β που κοστίζουν 2 ευρώ το ένα
και τα αυγά Γ που κοστίζουν 3 ευρώ το ένα.
Θέλω να πάρω 20 αυγά,που να κοστίζουν συνολικά 20 ευρώ
και να υπάρχει τουλάχιστον ένα αυγό από το κάθε είδος.
Πόσα πρέπει να πάρω από τα Α,πόσα από τα Β και πόσα από τα Γ ;

Ένα περίεργο παιχνίδι!

Έστω το εξής υποθετικό παιχνίδι.
Είστε ν άτομα σε ένα δωμάτιο και καλείται κάθε ένας από εσάς να επιλέξει έναν αριθμό από το 1 έως το 100 χωρίς να γνωρίζει τις απαντήσεις των άλλων.
Κάποιος που σημειώνει τις απαντήσεις όλων,παίρνει τον μεγαλύτερο αριθμό που επιλέχτηκε,τον διαιρεί δια του 2 και σε αυτόν που έχει πλησιάσει περισσότερο δίνει το ποσό που επέλεξε σε χιλιάδες ευρώ.
Π.χ αν η μέγιστη επιλογή ήταν το 100 τότε αυτός που επέλεξε 50 κερδίζει 50.000 ευρώ!!
Σε περίπτωση ισοπαλίας τα κέρδη μοιράζονται μεταξύ των νικητών.
Εσείς ποιον αριθμό θα επιλέγατε για να είστε νικητής σε αυτό το περίεργο παιχνίδι?

Συμμετρία

Γράψτε σε ένα χαρτί τις λέξεις :
ΒΟΗΘΟΣ
ΑΓΩΝΑΣ
ΦΟΒΟΣ
ΕΞΟΧΗ
ΑΣΚΗΣΗ
γυρίστε το χαρτί ανάποδα και προσπαθήστε να διαβάσετε τις λέξεις αυτές μέσα από έναν καθρέφτη.
Τι παρατηρείτε?
Κάποιες από αυτές διαβάζονται κανονικά και κάποιες όχι.
Γιατί συμβαίνει αυτό?
Τα γράμματα Β,Ε,Η,Θ,Ι,Κ,Ξ,Ο,Σ,Φ,Χ διαβάζονται κανονικά γιατί είναι συμμετρικά ώς προς άξονα συμμετρίας την οριζόντια ευθεία που διέρχεται από το κέντρο τους.Έτσι σε αυτό το μετασχηματισμό τα είδωλά τους παραμένουν ίδια.
Τα γράμματα που δεν έχουν αυτή τη συμμετρία αλλοιώνονται με την εν λόγω διαδικασία.
Γράμματα που είναι συμμετρικά ώς προς άξονα συμμετρίας την κατακόρυφη ευθεία που περνάει από το κέντρο τους παραμένουν αναλλοίωτα αν τα κοιτάξετε μέσα σ'έναν καθρέφτη χωρίς να τα αναποδογυρίσετε.Για παράδειγμα , δοκιμάστε να διαβάσετε μέσα από ένα καθρέφτη (χωρίς να αναποδογυρίσετε) την λέξη ΑΥΤΟΜΑΤΟ γραμμένη κατακόρυφα.
Α
Υ
Τ
Ο
Μ
Α
Τ
Ο
θα παρατηρήσετε οτι διαβάζεται κανονικά!!
Τη συμμετρία την συναντάμε σε πολλές περιπτώσεις στην φύση,στην τέχνη και στην καθημερινή μας ζωή.
Είναι απλά μαθηματικά!

Υπερβολή

Υπερβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που η διαφορά των αποστάσεών του από δύο σημεία Ε και Ε' (εστίες) είναι σταθερή.
Δηλαδή (ΜΕ)-(ΜΕ')=2α .
Το παρακάτω γραφικό δείχνει την κατασκευή της υπερβολής με το πρόγραμμα geogebra.
Δεν το έφτιαξα εγώ, το βρήκα στο internet,αλλά θεωρώ πως είναι μια πολύ καλή δουλειά.
Δείτε το! Κατασκευή υπερβολής.

Έλλειψη

Ορίστε δύο σημεία Ε και Ε'.Δέστε ένα σχοινί γύρω τους (το μήκος του σχοινιού είναι σταθερό) και σημειώστε το σχήμα που θα εμφανιστεί μετακινώντας το μολύβι αλλά κρατώντας το σχοινί τεντωμένο όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα.

Το σχήμα αυτό ονομάζεται έλλειψη με εστίες τα δύο σταθερά σημεία.

Μέχρι το 17ο αιώνα θεωρούνταν οτι οι πλανήτες κινούνταν σε κυκλικές τροχιές γύρω από τον ήλιο.
Στις αρχές του 17ου αιώνα ανακαλύφθηκε οτι οι πλανήτες κινούνται σε ελλειπτικές τροχιές και οτι ο ήλιος βρίσκεται σε μια από τις εστίες της έλλειψης!
Παρακάτω θα δείτε μια κατασκευή της έλλειψης με τη βοήθεια του λογισμικού geogebra.
κατασκευή έλλειψης .
καθώς και την ανακλαστική ιδιότητα της έλλειψης ανακλαστική ιδιότητα.

Παραβολή

Η παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από ένα σημείο (εστία) και μια ευθεία (διευθετούσα).
Παρακάτω φαίνεται η κατασκευή της παραβολής με το πρόγραμμα geogebra.

Κατασκευή Παραβολής

καθώς και η ανακλαστική ιδιότητα της παραβολής

Ανακλαστική ιδιότητα

Ο αριθμός e

 Μια τράπεζα προσφέρει ετήσιο επιτόκιο 100% (λέμε τώρα!!!) και μια άλλη 50% το εξάμηνο και μια τρίτη 33,33% το τετράμηνο.
Αν καταθέτατε εσείς τα χρήματά σας ποια από τις τρεις περιπτώσεις θα επιλέγατε;
Φαίνεται να είναι το ίδιο αλλά είναι όντως;
Ας υποθέσουμε οτι δανείζετε εσείς σε έναν φίλο σας 1 ευρώ με 100% ετήσιο επιτόκιο.
Σε ένα χρόνο θα έχετε πάρει 1+1=2 ευρώ δηλαδή θα έχετε διπλασιάσει το ποσό σας.
Με 50% επιτόκιο 2 φορές το χρόνο, θα λάβετε 1+1/2 ευρώ το πρώτο εξάμηνο και στο τέλος του χρόνου 1+1/2 φορές αυτού του ποσού δηλαδή (1+1/2)²=2.25 ευρώ.
Ομοίως με επιτόκιο 33.33% το τετράμηνο θα λάβετε  λίγο παραπάνω δηλαδη (1+1/3)³=2.37 ευρώ .
Παρατηρούμε πως το ποσό αυξάνεται αν αυξήσουμε τη συχνότητα ανατοκισμού μέσα στο χρόνο.Αυτό σημαίνει πώς με αυτόν τον τρόπο μπορείτε να βγάλετε μια περιουσία; 
Η απάντηση είναι μάλλον όχι
Γιατί το όριο  τείνει σε πεπερασμένο αριθμό καθώς το n τείνει στο άπειρο.
Ο αριθμός αυτός είναι ο e=2,7182818284.... και έχει πάρει το συμβολισμό του από το πρώτο γράμμα του ονόματος του μαθηματικού Leonhard Euler(1707-1783).

Οι τιμές του n έχουν μεγάλη σημασία όταν παραμένουν "μικρές".Από μια τιμή όμως και μετά , όσο κι αν αυξάνεται το n , το τελικό ποσό αυξάνεται ελάχιστα.
Ο άρρητος αυτός αριθμός συναντάται σε πολλές πρακτικές εφαρμογές αλλά ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η συνάρτηση 
                                  f(x)=



γιατί είναι μια συνάρτηση όπου ο ρυθμός ματαβολής της ισούται με τον εαυτό της.Η γραφική της παράσταση είναι η παρακάτω

 

όπου φαίνεται πως η εκθετική αύξηση είναι ραγδαία! 

Τελειώνοντας, σας δίνω ένα "διαφορετικό" sudoku αφιερωμένο στον Leonhard Euler.

Kάθε ένα από τα Σ,φ,i,e,π,0,1,γ,f  πρέπει να τοποθετηθούν έτσι ώστε να εμφανίζονται μία μόνο φορά σε κάθε στήλη,κάθε γραμμή και σε κάθε τετράγωνο που σχηματίζεται από 9 μικρότερα τετράγωνα.
Τα σύμβολα αυτά σχετίζονται όλα με τον μεγάλο μαθηματικό  5 από τα οποία βρίσκονται στη γνωστή σχέση:

 Δοκιμάστε το!

Ισότητα

Αν       1=5
          2=25
          3=325
          4=4325
τότε    5= ?

Το δίλημμα του κρατούμενου

Δύο ληστές, ο Α και ο Β , συλλαμβάνονται και κρατούνται για ανάκριση.Ο κάθε κρατούμενος έχει την επιλογή είτε να ομολογήσει είτε να μην ομολογήσει.Αν κανένας από τους δύο δεν ομολογήσει τότε λόγω έλλειψης στοιχείων θα τιμωρηθούν από 1 χρόνο ο καθένας.Αν και οι δύο ομολογήσουν τότε η τιμωρία τους θα είναι 5 χρόνια έκαστος.Εάν όμως ο ένας ομολογήσει (και εμπλέξει τον άλλο) και ο άλλος όχι τότε αυτός που ομολόγησε θα αφεθεί ελεύθερος επειδή συνεργάστηκε με τις αρχές και ο άλλος θα τιμωρηθεί με 10 χρόνια φυλάκιση.Να τονίσουμε οτι η ανάκριση θα γίνει στον κάθε κρατούμενο ξεχωριστά κι έτσι ο ένας δεν μπορεί να γνωρίζει τι θα πει ο άλλος στην κατάθεσή του και ούτε μπορούν να συνεννοηθούν για την στρατηγική τους.

Παρακάτω φαίνονται ολα τα δυνατά αποτελέσματα της ανάκρισης αυτής.

Ο πρώτος αριθμός δείχνει την ποινή του κρατούμενου Α και ο δεύτερος την ποινή του κρατούμενου Β σε κάθε περίπτωση.
Τι πρέπει να κάνει ο κάθε κρατούμενος,να ομολογήσει ή οχι , για να επιτύχει το καλύτερο αποτέλεσμα;
Ας υποθέσουμε πως μπορεί να σκεφτεί ο κρατούμενος Α.
1η περίπτωση: Αν ο Β ομολογήσει τότε ο Α ή θα ομολογήσει και θα φυλακιστεί 5 χρόνια ή δε θα ομολογήσει και θα φυλακιστεί 10.Άρα καλύτερα να ομολογήσει.
2η περίπτωση:Αν ο Β δεν ομολογήσει,τότε ο Α ή θα ομολογήσει και θα αφεθεί ελεύθερος ή δεν θα ομολογήσει και θα φυλακιστεί 1 χρόνο.Άρα καλύτερα να ομολογήσει.
Και στις δύο περιπτώσεις λοιπόν είναι καλύτερα να ομολογήσει!!
Με την ίδια λογική πιθανότατα να σκεφτεί και ο Β και έτσι έχοντας ομολογήσει και οι δύο,θα καταληξουν στη φυλακή 5 χρόνια ο καθένας.
Το παράδοξο είναι πως η επικράτηση της λογικής δεν οδήγησε τους δύο αυτούς κρατούμενους στο βέλτιστο δυνατό αποτέλεσμα!

mensa test 2

0	1000 Δ σε ένα Χ	1000 ΔΡΑΧΜΕΣ ΣΕ ΕΝΑ ΧΙΛΙΑΡΙΚΟ
1	28 Η του Σ Μ
2	4 Ε σε ένα Α Π
3	9 Π του Η Σ
4	18 X της Ε
5	180 Ψ για την Ε του Π Δ
6	35 Μ και 60 Μ
7	3 Π σε μία Γ
8	1852 Μ σε ένα Ν Μ
9	8 Σ σε ένα Ο
10	7 Ψ της Γ
11	1 Μ του Κ
12	5 E A
13	3 Α σε ένα Μ Ν
14	4 Α του Σ
15	5 Χ Σ στο Π
16	3 Κ Κ της Ε Τ
17	3 B του Α των Δ
18	4 Χ σε ένα Η Μ
19	25 Α της Π Θ
20	11 τα Ο του Τ
21	33 τα Χ του Μ Α
22	37 οι Α της Ρ (με το Μ)
23	50 Α στην Α Σ
24	100 A B στο Κ Ο
25	20 Ν στο Α Σ
26	9 οι Μ της Κ
27	6 Τ του Α Μ
28	12 οι Μ της Σ Θ
29	4 Ν της Κ
30	10000 Σ στους Τ Κ
31	340 Μ το Δ είναι η Τ του Η
32	3 τα Χ του Φ Σ
33	5 Ω της Γ

Ας παίξουμε

Τοποθετούμε 6 πούλια του τάβλι,3 μαύρα και 3 άσπρα σε έναν γραμμικό πίνακα όπως φαίνεται στην εικόνα.

 
O σκοπός του παιχνιδιού είναι να εναλλάξετε τα άσπρα με τα μαύρα πούλια μετακινώντας τα με τους εξής τρόπους.
1.Μπορείτε να μετακινήσετε τα μαύρα μόνο προς τα δεξιά και τα άσπρα μόνο προς τα αριστερά.
2.Κάθε πούλι μπορεί είτε να "γλιστρήσει" στη διπλανή κενή θέση, είτε, να υπερπηδήσει ενα πούλι διαφορετικού χρώματος και να βρεθεί στην αμέσως επόμενη κενή.
Ποιός είναι ο ελάχιστος αριθμός κινήσεων που μπορείτε να κάνετε για να το καταφέρετε αυτό.
Δοκιμάστε το!!!

Γρήγορες πράξεις (χωρίς κομπιουτεράκι) 2

Παρακολουθήστε τα παρακάτω βίντεο και δείτε έναν απλό και εύκολο τρόπο
για διαιρέσεις μεγάλων αριθμών με το 9 και για εύκολο πολλαλασιασμό διψήφιων αριθμών.

 

Τα βιντεάκια είναι από το YouTube.

Mensa test

ΤΕΣΤ ΕΥΦΥΪΑΣ

Πρέπει να βρεις τι σημαίνουν τα γράμματα. Δες το Νο Ο για παράδειγμα.  Νο. Κρυπτόλεξο Απάντηση 0 24 Ω σε μια Μ 24 ωρες σε μια μερα 1 26 Γ του Λ Α 2 7 Μ σε μια Ε 3 7 Θ του Κ 4 12 Ζ στο Ω 5 150 Ψ της Π Δ 6 52 Χ σε μια Τ (χωρίς τους Μ) 7 5 Γ Λ στην Ε Σ 8 6 Τ σε ένα Τ του Μ 9 5 Δ του Π 10 90 Μ σε μια Ο Γ 11 Κ 5 και Σ Χ (Π 10 και Κ) 12 100 Β Κ είναι η Θ που Β το Ν 13 15 Π ο κάθε Π στο Τ 14 3 Ρ σε ένα Τ 15 100 Λ σε ένα Ε 16 11 Π σε μια Ο Π 17 12 Θ του Ο 18 13 = Γ Ν για Π 19 8 Π του Χ 20 29 Μ το Φ κάθε Δ Ε 21 10 Ε του Μ 22 365 Μ σε ένα Χ 23 300 B E 24 52 Ε σε ένα Χ 25 7 Ψ της Γ 26 60 Λ σε μια Ω 27 23 Ζ από Χ στο Α Σ 28 64 Τ σε μια Σ 29 9 Μ της Α 30 4 Α σε ένα Κ του Α 31 1000 Χ σε μια Χ 32 12 Α του Η 33 45 Γ ενός Κ Γ

Γρήγορες Πράξεις (χωρίς κομπιουτερακι!)

Πόσο κάνει 105² ; Μπορούμε φυσικά να βρούμε το αποτέλεσμα κάνοντας τον πολλαπλασιασμό
105 x 105  με τον κλασικό τρόπο ή ακόμα και να χρησιμοποιήσουμε ένα κομπουτεράκι.
Θα μπορούσατε όμως να βρείτε το αποτέλεσμα με το νου γρήγορα και χωρίς τη χρήση κάποιας αριθμομηχανής;
Με τη μέθοδο που θα πούμε τώρα θα μπορούμε να βρίσκουμε τα τετράγωνα αριθμών πολύ κοντά στο 100.
Το αποτέλεσμα του 105² για παράδειγμα είναι ένας αριθμός όπου τα τρία πρώτα του ψηφία είναι 105+5=110 και τα δύο τελευταία είναι το 5²=25. Δηλαδή 105²=11025!!!
(προσθέτω στον αριθμό τη διαφορά του από το 100 και έπειτα υψώνω στο τετράγωνο τη διαφορά αυτή)
Ας δούμε ακόμα ένα παράδειγμα
108²=τα τρία πρώτα ψηφία είναι 108+8=116 και τα δύο επόμενα 8²=64 δηλαδή 108²=11664!!!
Για να βρούμε το 113² τότε επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία:113+13=126
και 13²=169  κρατάω το 69 και το 1 το προσθέτω στο 126 που βρήκα πριν.Άρα 113²=12769!! 
Τέλος για να βρω τo  98² ακολουθώ την ίδια διαδικασία.Η διαφορά του από το 100 είναι -2,άρα τα πρώτα ψηφία του αποτελέσματος αυτής της δύναμης είναι 98-2=96 και τα δύο επόμενα (-2)²=4, άρα 98²=9604!!!

Γραφική παράσταση

Κάντε κλίκ στο παρακάτω  link.

www.wolframalpha.com

Εισάγετε τον τύπο οποιασδήποτε συνάρτησης
και θα έχετε την γραφική της παράσταση στη στιγμή.

Πολύ καλό εργαλείο!!

Σύγχυση με τις πιθανότητες

Ρίχνουμε ένα κέρμα 10 φορές.Το κέρμα είτε θα φέρει κορώνα είτε γράμματα.Η πιθανότητα να φέρει και τις 10 φορές το ίδιο αποτέλεσμα είναι 1 στις 1024
Ρ(Α)=1/1024=0,000976 περίπου.

Η ερώτηση είναι αν ρίξαμε ένα κέρμα 9 φορές και έχει έρθει και τις 9 κορώνα,ποιά είναι η πιθανότητα και τη 10η φορά να έρθει κορώνα;

Αν απαντήσατε 1 στις 1024 τότε πέσατε έξω.
Η πιθανότητα είναι 1/2=0,5 !!!  50% κορώνα και 50 % γράμματα, αφού το αποτέλεσμα της ρίψης του κέρματος είναι ανεξάρτητο από τα αποτελέσματα των προηγούμενων ρίψεων.

Οι άνθρωποι συχνά κάνουν αυτό το λάθος λόγω μιας παρεξήγησης του πως λειτουργεί η πιθανότητα.Συνδυάζουν την πιθανότητα των γεγονότων του παρελθόντος  με εκείνη των μελλοντικών γεγονότων. 

Συχνά σε πρακτορεία προγνωστικών για το Λοττο ή το Τζόκερ προτείνονται κάποιοι αριθμοί που δεν έχουν εμφανιστεί στις τελευταίες 20,50,100 κληρώσεις,άρα τώρα είναι η "σειρά" τους να εμφανιστούν.Όποιος ισχυρίζεται κάτι τέτοιο μπορεί να επικαλεστεί την τύχη αλλά σίγουρα όχι τη θεωρία των πιθανοτήτων μιας και για κάθε νέα κλήρωση η πιθανότητα εμφάνισης κάθε αριθμού είναι ίση και ανεξαρτητη από το πλήθος εμφανίσεων του σε προηγούμενες κληρώσεις.

Άς δούμε άλλα δύο παραδείγματα που φανερώνουν μια σύγχυση της θεωρίας των πιθανοτήτων
Κάποιος δηλώνει "κάθε φορά που ταξιδεύω με αεροπλάνο κουβαλάω και μια βόμβα μαζί μου.Η πιθανότητα να υπάρχει μία βόμβα στο αεροπλάνο είναι πολυ μικρή αλλά η πιθανότητα να υπάρχουν 2 βόμβες στο αεροπλάνο είναι μηδενική!!"
όπως επίσης και " θα αγοράσω ένα σπίτι στο οποίο έπεσε ένα μικρό αεροσκάφος γιατί η πιθανότητα να ξαναπέσει στο  ίδιο σπίτι είναι μηδενική!!

Υπάρχουν βέβαια περιπτώσεις όπου η παραπάνω πλάνη φαίνεται να ισχύει αλλά στην πραγματικότητα δεν υπάρχει.Για παράδειγμα αν από μία τράπουλα επιλέξω ένα φύλλο και είναι άσσος τότε η  πιθανότητα να ξαναβγεί στο δεύτερο φύλλο πάλι άσσος είναι όντως μικρότερη αφού ο αριθμός των άσσων είναι μικρότερος στην υπόλοιπη τράπουλα!

Τι μέρα ήταν......

Ένα απλό κολπάκι για να βρίσκετε τί μέρα της εβδομάδας ήταν μια ημερομηνία στο παρελθόν.
Ο Ιανουάριος έχει 31 μέρες.Αυτό σημαίνει ότι κάθε ημερομηνία το Φεβρουάριο θα είναι 3 μέρες αργότερα από την ίδια μέρα το Γενάρη.(Ο Φεβρουάριος έχει 28 μέρες,δηλαδή ακριβώς 4 εβδομάδες.)
Παρόμοιοι υπολογισμοί έχουν γίνει για όλους τους μήνες του χρόνου και τα αποτελέσματα δίνονται στην παρακάτω στήλη.

Ιανουάριος 0
Φεβρουάριος 3
Μάρτιος 3
Απρίλιος 6
Μάιος 1
Ιούνιος 4
Ιούλιος 6
Αύγουστος 2
Σεπτέμβριος 5
Οκτώβριος 0
Νοέμβριος 3
Δεκέμβριος 5

Αν ψάχνετε για παράδειγμα να βρείτε τι μέρα ήταν στις 19 Ιουνίου 1980
τότε προσθέστε το 19 με τον αριθμό που αντιστοιχεί στον Ιούνιο από τον παραπάνω πίνακα.
Δηλαδή 19+4=23.
Διαιρέστε τα δύο τελευταία ψηφία της χρονιάς με το 4 (κάθε 4 χρόνια είναι δίσεκτο το έτος.)
80/4=20
Αν η διαίρεση δεν γίνεται ακριβώς τότε κρατήστε μόνο το ακέραιο μέρος του αποτελέσματος.
Προσθέστε το αποτέλεσμα που βρήκατε από την πρώτη πρόσθεση,το αποτέλεσμα της διαίρεσης και τα δύο τελευταία ψηφία της χρονιάς.Δηλαδή 23+20+80=123.
Διαιρέστε αυτό που βρήκατε με το 7 (7 ημέρες έχει η εβδομάδα)
Το υπόλοιπο της διαίρεσης αυτής μας δείχνει και την ημέρα που ψάχνουμε.
0 Κυριακή
1 Δευτέρα
2 Τρίτη
3 Τετάρτη
4 Πέμπτη
5 Παρασκευή
6 Σάββατο

Στο παράδειγμα μας 123/7 αφήνει υπόλοιπο 4.
Άρα 19 Ιουνίου 1980  ήταν Πέμπτη!!!!

Όμορφα μαθηματικά

                                           1x8+1=9
                                         12x8+2=98
                                       123x8+3=987
                                     1234x8+4=9876
                                   12345x8+5=98765
                                 123456x8+6=987654
                               1234567x8+7=9876543
                             12345678x8+8=98765432
                           123456789x8+9=987654321
_____________________________________________________

                                   1x9+2=11
                                 12x9+3=111
                               123x9+4=1111
                             1234x9+5=11111
                           12345x9+6=111111
                         123456x9+7=1111111
                       1234567x9+8=11111111
                     12345678x9+9=111111111
                  123456789x9+10=1111111111
_____________________________________________________

                             9x9+7=88
                           98x9+6=888
                         987x9+5=8888
                       9876x9+4=88888
                     98765x9+3=888888
                   987654x9+2=8888888
                 9876543x9+1=88888888
               98765432x9+0=888888888

______________________________________________________

                                      1x1=1
                                  11x11=121
                              111x111=12321
                          1111x1111=1234321
                      11111x11111=123454321
                  111111x111111=12345654321
              1111111x1111111=1234567654321
          11111111x11111111=123456787654321
      111111111x111111111=12345678987654321
_______________________________________________________

                                             6x7=42
                                         66x67=4422
                                     666x667=444222
                                 6666x6667=44442222
                             66666x66667=4444422222
                         666666x666667=444444222222
                     6666666x6666667=44444442222222
                 66666666x66666667=4444444422222222
..........................................................................................

Tαυτότητες

Μια γεωμετρική απόδειξη των ταυτοτήτων για την Γ γυμνασίου.

ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ
Ας πάρουμε ένα τετράγωνο πλευράς α, ένα τετράγωνο πλευράς β
και δύο ορθογώνια διαστάσεων α, β όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Tο εμβαδόν των τετραγώνων είναι Ε1=α² και Ε2=β² αντίστοιχα 
ενώ του ορθογωνίου Ε3=αβ.
Τα τοποθετούμε κατάλληλα έτσι ώστε να μας φτιάξουν ένα μεγάλο τετράγωνο.

Το νέο τετράγωνο έχει πλευρά α+β άρα το εμβαδόν του είναι Ε=(α+β)²
Έτσι έχουμε      Ε=Ε1 + Ε2 +2Ε3
                Άρα   (α+β)²=α² + β² + 2αβ   !!


ΔΙΑΦΟΡΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ
Ας πάρουμε τώρα τα τετράγωνα του προηγούμενου σχήματος και ας υπολογίσουμε 
την επιφάνεια που ορίζεται από τη διαφορά των εμβαδόν τους.

Η επιφάνεια που θέλουμε να υπολογίσουμε είναι δύο ορθογώνια.
Το ένα διαστάσεων α , α-β  και το άλλο β , α-β.

Άρα         Ε2-Ε1=α (α-β) + β (α-β)
δηλαδή  α²-β²=α (α-β) + β(α-β)
                  α²-β²= (α+β)(α-β)   !!!

Με την ίδια διαδικασία και με την βοήθεια του παρακάτω σχήματος μπορούμε 
να αποδείξουμε και άλλη μία ταυτότητα.

Οτι (α+β+γ)²=α²+β²+γ²+2αβ+2βγ+2αγ !!!
Τα μαθηματικά είναι απλά και θέλουν φαντασία!!








              

Ο γρίφος του Αινστάιν

Υπάρχουν πέντε σπίτια πέντε διαφορετικών χρωμάτων. Σε κάθε σπίτι ζει ένας άνθρωπος διαφορετικής εθνικότητας. Οι πέντε ιδιοκτήτες πίνουν ένα συγκεκριμένο είδος ποτού. Καπνίζουν μία συγκεκριμένη μάρκα τσιγάρων και έχουν ένα συγκεκριμένο κατοικίδιο. 'Ολοι έχουν μεταξύ τους διαφορετικά κατοικίδια, διαφορετικές μάρκες τσιγάρων και διαφορετικά είδη ποτών.  Η ερώτηση είναι: Ποιος έχει το ψάρι;  ΣΤΟΙΧΕΙΑ: 1. Ο Αγγλος μένει στο κόκκινο σπίτι. 2. Ο Σουηδός έχει σκύλο. 3. Ο Δανός πίνει τσάι. 4. Το πράσινο σπίτι είναι αριστερά από το άσπρο σπίτι. 5. Ο ιδιοκτήτης του πράσινου σπιτιού πίνει καφέ. 6. Αυτός που καπνίζει Pall mall εκτρέφει πουλιά. 7. O ιδιοκτήτης του κίτρινου σπιτιού καπνίζει Dunhill. 8. Αυτός που μένει στο μεσαίο σπίτι πίνει γάλα. 9. Ο Νορβηγός μένει στο πρώτο σπίτι. 10. Αυτός που καπνίζει Blends μένει δίπλα σ' αυτόν που έχει γάτες. 11. Αυτός που έχει το άλογο μένει δίπλα σ' αυτόν που        καπνίζει Dunhill. 12. Ο ιδιοκτήτης που καπνίζει BluemaSters πίνει μπύρα. 13. Ο Γερμανός καπνίζει Prince. 14. Ο Νορβηγός μένει δίπλα στο μπλε σπίτι. 15. Αυτός που καπνίζει Blends έχει ένα γείτονα που πΙνει νερό. Ο Αϊνστάιν έγραψε αυτό το γρίφο στον 20ό αιώνα. Υποστήριξε ότι το 98% των ανθρώπων δε μπορούν να τον λύσουν.

Πυθαγόρειο Θεώρημα

Μια οικογένεια έχει το σπίτι της χτισμένο σε ένα οικόπεδο σχήματος ορθογωνίου τριγώνου με πλευρές α,β,γ.Στον πατέρα ανήκουν και τρία τετράγωνα χωράφια το καθένα με πλευρά όσο και οι πλευρές του τριγώνου,γύρω από το οικόπεδο όπως φαίνεται στο σχήμα.

Θέλει να δώσει τα χωράφια αυτά στους δύο γιους του αλλά χωρίς να αδικήσει κανέναν.Αποφασίζει να δώσει στον ένα το μεγάλο χωράφι (πράσινο) και στον άλλο τα δύο μικρά (κόκκινα).
Τι λέτε είναι δίκαιη η μοιρασιά;
Η απάντηση είναι εύκολη.
Οι δύο αυτές επιφάνειες έχουν ακριβώς το ίδιο εμβαδόν!
Αν Ε είναι το εμβαδόν του μεγάλου τετραγώνου και Ε1+Ε2 το εμβαδόν των δύο μικρότερων τότε
 Ε=Ε1+Ε2 δηλαδή

Η πρόταση αυτή είναι γνωστή ώς Πυθαγόρειο Θεώρημα και υπάρχουν περισσότερες από 300 αποδείξεις.Εμείς θα δούμε εδώ μία από αυτές.
Τα τετράγωνα στα παρακάτω σχήματα έχουν και τα δύο πλευρά β+γ άρα έχουν το ίδιο εμβαδόν.

Επομένως ισχύει        Ε+4ε=Ε1+Ε2+4ε
                                      Ε=Ε1+Ε2

 Το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών!

Χιονοπόλεμος

Μια μέρα του χειμώνα,που έξω χιονίζει,οι μαθητές θέλουν να βγουν  να παίξουν χιονοπόλεμο.
Ο καθηγητής τους επιτρέπει να πετάξουν μία μόνο χιονόμπαλα ο καθένας και στο άτομο που βρίσκεται πιο κοντά τους.Εάν δύο ή περισσότερα άτομα βρίσκονται στην ίδια απόσταση τότε μπορούν να επιλέξουν τυχαία σε ποιον από αυτούς θα πετάξουν την χιονόμπαλα.
Η ερώτηση είναι ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός χιονόμπαλων που μπορεί να δεχτεί ο πιο άτυχος μαθητής ;


Η απάντηση είναι 6!!!
Για να το δούμε μαζί.Στην αρχή θα σκεφτούμε πως αν οι μαθητές είναι στη σειρά ,τότε ο μέγιστος αριθμός αριθμός χιονόμπαλων που θα δεχτεί ο καθένας είναι δύο.Αλλά μετά ίσως πούμε πως αν οι μαθητές είναι σε έναν κύκλο τότε αυτός που είναι στο κέντρο μπορεί να δεχτεί τις περισσότερες ,πλην μια,τη δική του.Αυτό όμως δεν είναι σωστό γιατί στον κύκλο αυτός που θα είναι δίπλα τους θα είναι πιο κοντά τους.Άρα θα πρέπει να είναι τοποθετημένοι έτσι  ώστε, όσο απέχουν από το κέντρο του κύκλου,τόσο να απέχουν και από το διπλανό τους.Αυτό συμβαίνει αν οι μαθητές σχηματίζουν ένα κανονικό εξάγωνο.

Είναι γνωστό πως οι κορυφές του εξαγώνου απέχουν η μία από την άλλη όσο και η κάθε μία από το κέντρο.Δηλαδή η πλευρά του κανονικού εξαγώνου ισούται με την ακτίνα του κύκλου στον οποίο εγγράφεται το εξάγωνο!

Το "μυστήριο" των αρνητικών αριθμών

Μαθητής: -3-5=+8
Καθηγητής: Γιατί + ;
Μ.Μα αφού (-)(-) κάνει (+).
Κ.Αυτό ισχύει στον πολλαπλασιασμό,εδώ έχουμε πρόσθεση.
Μ.Πρόσθεση;;;Αφού έχει (-) ανάμεσα.

Τι είναι αυτό που δυσκολεύει τους μαθητές του Γυμνασίου (πολλές φορές και μεγαλύτερους μαθητές) τόσο πολύ στα πρόσημα;
Καταρχήν είναι κάτι απόλυτα δικαιολογημένο.
Ας πάρουμε για παράδειγμα την εξίσωση 6+x=0.
Πως είναι δυνατόν να προσθέτουμε στο 6 μια ποσότητα και να βρίσκουμε μηδέν!!!
Είναι αλήθεια πως οι αρνητικοί αριθμοί αποτελούν για τους μαθητές ένα μυστήριο.
Έυκολα μπορούν να κατανοήσουν  και να δεχτούν την αναγκαιότητα των αρνητικών αριθμών στην ζωή μας με απλά παραδείγματα.Η θερμοκρασία το χειμώνα πέφτει συχνά κάτω από το μηδέν,τα πολυκαταστήματα έχουν συχνά 1,2 ή και 3 ορόφους κάτω από το ισόγειο για parking,η πτώση της στάθμης μιας λίμνης και αν σκεφτούμε μπορούμε να βρούμε και άλλα παρόμοια παραδείγματα.
Το θέμα περιπλέκεται ακόμα περισσότερο όταν αυτούς τους αριθμούς πρέπει να τους προσθέσουμε ή να τους πολλαπλασιάσουμε.
Ας τοποθετήσουμε όλους τους πραγματικούς αριθμούς σε μια ευθεία (άξονας).Στη μέση το μηδέν,δεξιά του μηδενός τους θετικούς αριθμούς, που είναι άπειροι ,και αριστερά του , τους αρνητικους φτιάχνοντας μια όμορφη συμμετρία.
Η πρόσθεση των πραγματικών αριθμών είναι αρκετά απλή , αν το σκεφτούμε λίγο.
Για παράδειγμα -3+5 σημαίνει  (ξεκινώντας από το μηδέν πάντα) να μετακινηθούμε 3 θέσεις προς τα αριστερά και έπειτα 5 θέσεις δεξιά,βρισκόμαστε στο +2.Αντίστοιχα -7+6 σημαίνει να μετακινηθούμε 7 θέσεις προς τα αριστερά και μετά 6 θέσεις δεξιά,θα βρεθούμε στο -1.Όμοια -3-5, 3 θέσεις αριστερά και αλλες 5 θέσεις αριστερά και είμαστε στο -8.
Τι συμβαίνει όμως με τον πολλαπλασιασμό; Γιατί (-2)x(-5)=+10 ; Γιατί όταν υψώνουμε  στο τετράγωνο έναν αρνητικό αριθμό το αποτέλεσμα είναι πάντα θετικό;
Ας ξεκινήσουμε με το γινόμενο 5x(-2).Θα μετακινηθούμε 2 θέσεις αριστερά και θα επαναλάβουμε αυτή τη διαδικασία 5 φορές,άρα θα φτάσουμε στο -10.
Εάν τώρα έχουμε  (-5)x(-2),αυτό σημαίνει πως θα μετακινηθούμε 2 θέσεις προς τα αριστερά και θα επαναλάβουμε αυτή τη διαδικασία 5 φορές αλλά προς την αντίθετη κατεύθυνση,δηλαδή προς τα δεξιά,άρα +10!!!
Ας υποθέσουμε , τέλος, ότι πάνω στην ευθεία των αριθμών,βρίσκεται κάποιος στο μηδέν και δεν κάνει βήμα,κάποιος άλλος κάνει 5 βήματα προς τα δεξιά (+5) και κάποιος άλλος 5 βήματα προς τα αριστερά (-5).Δεν μπορούμε να πούμε οτι οι δύο τελευταίοι έκαναν ακριβώς τα ίδια βήματα;Αυτός που είναι στο -5 δεν έκανε περισσότερα βήματα από αυτόν που έμεινε ακίνητος; 'Αρα όλα είναι θέμα ορισμού και τα μαθηματικά είναι απλά και θέλουν φαντασία!!!

Ξέρω τι σκέφτεστε....

Ας δοκιμάσουμε ένα απλό,πολύ εύκολο προβληματάκι.
Σκεφτείτε έναν αριθμό από το 1 έως το 9.
Πολλαπλασιάστε τον με το 9.
Προσθέστε τα ψηφία του αριθμού που έχετε τώρα. (π.χ. αν έχετε 16 τότε 1+6=7)
Από αυτόν τον αριθμό που βρήκατε αφαιρέστε το 5.
Βρείτε σε ποιο γράμμα της αλφαβήτου αντιστοιχεί το αποτέλεσμα.(π.χ.1=Α, 2=Β, κ.τ.λ)
Σκεφτείτε μία χώρα που αρχίζει από αυτό το γράμμα.
Σκεφτείτε δύο ζώα που να αρχίζουν από το γράμμα που είναι στην αλφαβήτα αμέσως μετά από το γράμμα που είχατε στο προηγούμενο ερώτημα.

Τώρα θα προσπαθήσω να μαντέψω ποια χώρα και ποια ζώα σκεφτήκατε!

Είμαι σχεδόν  σίγουρη ότι η χώρα είναι η Δανία και τα ζώα το ελάφι και ο ελέφαντας.
Μάντεψα σωστά; ε...δεν έκανα και τίποτα σπουδαίο...είναι απλά μαθηματικά!

Γεωμετρική Πρόοδος

1.Είναι μία λίμνη που γεμίζει με νούφαρα.Τα νούφαρα της λίμνης κάθε μέρα διπλασιάζονται.
Σε 50 μέρες η λίμνη είναι γεμάτη από νούφαρα.
Στις πόσες μέρες η λίμνη ήτανε μισογεμάτη;
Η απάντηση θα δωθεί παρακάτω.

2.Aποφασίζουμε να κάνουμε αποταμίευση.Είναι και η οικονομική κρίση τώρα....Έχουμε έναν κουμπαρά.Βάζουμε σήμερα στον κουμπαρά 1 λεπτό και κάθε μέρα βάζουμε το διπλάσιο ποσό από εκείνο που βάλαμε την προηγούμενη μέρα.Δηλαδή 1,2,4,8,....κ.τ.λ.
Μπορείτε να υπολογίσετε ή έστω να φανταστείτε τι ποσό θα έχουμε στον κουμπαρά μας σε ένα μήνα (30 ημέρες);

Η διαδικασία αυτή όπου ξεκίναμε από έναν αριθμό (α1) και κάθε φορά τον πολλαπλασιάζουμε με έναν αριθμό (λ) είναι μία Γεωμετρική Πρόοδος.Το άθροισμα ν όρων μιας γεωμετρικής ποόδου δίνεται από τον τύπο 

Για να δούμε....σε ένα μήνα μόνο και ξεκινώντας από μερικά "ασήμαντα" λεπτά!!
Στην περίπτωση μας α1=1  και λ=2  και ν=30.
Κάντε τους υπολογισμούς και αυτό που θα βρείτε δε θα το πιστεύετε!
Κι όμως το άθροισμα αυτό μας δίνει 1073741823 λεπτά!!! δηλαδή περισσότερα από 10 εκατομμύρια ευρώ!!
Αν τώρα στο ερώτημα με τα νούφαρα απαντήσατε στις 25 μέρες,τότε κάνατε λάθος.
Η σωστή απάντηση είναι στις 49!!Στις 49 μέρες τα νούφαρα θα είναι τα μισά,τη επόμενη θα διπλασιαστούν και η λίμνη θα γεμίσει!
Απλά μαθηματικά!