Πυθαγόρειο Θεώρημα

Μια οικογένεια έχει το σπίτι της χτισμένο σε ένα οικόπεδο σχήματος ορθογωνίου τριγώνου με πλευρές α,β,γ.Στον πατέρα ανήκουν και τρία τετράγωνα χωράφια το καθένα με πλευρά όσο και οι πλευρές του τριγώνου,γύρω από το οικόπεδο όπως φαίνεται στο σχήμα.

Θέλει να δώσει τα χωράφια αυτά στους δύο γιους του αλλά χωρίς να αδικήσει κανέναν.Αποφασίζει να δώσει στον ένα το μεγάλο χωράφι (πράσινο) και στον άλλο τα δύο μικρά (κόκκινα).
Τι λέτε είναι δίκαιη η μοιρασιά;
Η απάντηση είναι εύκολη.
Οι δύο αυτές επιφάνειες έχουν ακριβώς το ίδιο εμβαδόν!
Αν Ε είναι το εμβαδόν του μεγάλου τετραγώνου και Ε1+Ε2 το εμβαδόν των δύο μικρότερων τότε
 Ε=Ε1+Ε2 δηλαδή

Η πρόταση αυτή είναι γνωστή ώς Πυθαγόρειο Θεώρημα και υπάρχουν περισσότερες από 300 αποδείξεις.Εμείς θα δούμε εδώ μία από αυτές.
Τα τετράγωνα στα παρακάτω σχήματα έχουν και τα δύο πλευρά β+γ άρα έχουν το ίδιο εμβαδόν.

Επομένως ισχύει        Ε+4ε=Ε1+Ε2+4ε
                                      Ε=Ε1+Ε2

 Το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών!