Tαυτότητες

Μια γεωμετρική απόδειξη των ταυτοτήτων για την Γ γυμνασίου.

ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ
Ας πάρουμε ένα τετράγωνο πλευράς α, ένα τετράγωνο πλευράς β
και δύο ορθογώνια διαστάσεων α, β όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Tο εμβαδόν των τετραγώνων είναι Ε1=α² και Ε2=β² αντίστοιχα 
ενώ του ορθογωνίου Ε3=αβ.
Τα τοποθετούμε κατάλληλα έτσι ώστε να μας φτιάξουν ένα μεγάλο τετράγωνο.

Το νέο τετράγωνο έχει πλευρά α+β άρα το εμβαδόν του είναι Ε=(α+β)²
Έτσι έχουμε      Ε=Ε1 + Ε2 +2Ε3
                Άρα   (α+β)²=α² + β² + 2αβ   !!


ΔΙΑΦΟΡΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ
Ας πάρουμε τώρα τα τετράγωνα του προηγούμενου σχήματος και ας υπολογίσουμε 
την επιφάνεια που ορίζεται από τη διαφορά των εμβαδόν τους.

Η επιφάνεια που θέλουμε να υπολογίσουμε είναι δύο ορθογώνια.
Το ένα διαστάσεων α , α-β  και το άλλο β , α-β.

Άρα         Ε2-Ε1=α (α-β) + β (α-β)
δηλαδή  α²-β²=α (α-β) + β(α-β)
                  α²-β²= (α+β)(α-β)   !!!

Με την ίδια διαδικασία και με την βοήθεια του παρακάτω σχήματος μπορούμε 
να αποδείξουμε και άλλη μία ταυτότητα.

Οτι (α+β+γ)²=α²+β²+γ²+2αβ+2βγ+2αγ !!!
Τα μαθηματικά είναι απλά και θέλουν φαντασία!!