Πυκνοί καπνοί......

 Ένας γρίφος που μοιάζει δύσκολος αρχικά αλλά
με λίγη σκέψη και απλά μαθηματικά.....πολύ απλά όμως .....είναι παιχνιδάκι!!

6 άνθρωποι καπνίζουν 6 τσιγάρα σε 6 λεπτά.
Πόσοι άνθρωποι χρειάζονται για να καπνίσουν 80 τσιγάρα σε 48 λεπτά;

Γρίφοι για λύση

1.Ο κυρ Γιώργης φημιζόταν για το καλό κρασί και όλοι έτρεχαν στην ταβέρνα του να γεμίσουν το κανάτι τους από το βαρέλι του.Για να δίνει τις ποσότητες που του ζητούσαν είχε δύο δοχεία το ένα χωρούσε 7 λίτρα και το άλλο 4 λίτρα που τα χρησιμοποιούσε με μεγάλη επιδεξιότητα.Μπορούσε να υπολογίσει οποιαδήποτε ποσότητα λίτρων χωρίς να χαθεί σταγόνα κρασί ενώ αν περίσσευε κάποια ποσότητα την έριχνε πίσω στο βαρέλι.Θα μπορούσατε εσείς να εξυπηρετήσετε έναν πελάτη που ζήτησε 2 λίτρα;

2.Θέλουμε να αφαιρέσουμε 357 από τον 439.Κάνουμε αφαίρεση του 357 από το 999 και ύστερα στη διαφορά  τους προσθέτουμε το 439.Από τον αριθμό που προκύπτει αγνοούμε το 1 από τη θέση των χιλιάδων και προσθέτουμε 1 στις μονάδες και έχουμε το αποτέλεσμα.Είναι σωστό ; Γιατί ;

3.Με μια τεθλασμένη γραμμή που έχει 4 ευθύγραμμα τμήματα ενώστε όλα τα σημεία που φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.

Έπειτα προσπαθήστε με μια τεθλασμένη γραμμή που έχει 6 ευθύγραμμα τμήματα να ενώσετε όλα τα σημεία στο παρακάτω σχήμα.

4.Οχτώ υπουργοί συμφώνησαν να συνεδριάζουν για το ασφαλιστικό κάθε μέρα γύρω από ένα στρογγυλό τραπέζι , αλλά κάθε φορά θα κάθονται με διαφορετική σειρά.Όταν δεν υπάρχει πλέον άλλος διαφορετικός τρόπος να καθίσουν τότε θα σταματήσουν τις συνεδριάσεις και θα ψηφιστεί ο νόμος στον οποίο θα έχουν καταλήξει.Πότε θα ψηφιστεί ο νόμος;

Β Λυκείου

Τυπολόγια για κάποια κεφάλαια των μαθηματικών της  Β λυκείου

Άλγεβρα 

Τριγωνομετρία

Πολυώνυμα

Πρόοδοι

Γεωμετρία

Μετρικές Σχέσεις

Εμβαδά

Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Διανύσματα

Ευθεία 1

Ευθεία 2

Γ γυμνασίου

Ασκήσεις μαθηματικών για την Γ γυμνασίου

Αλγεβρικές παραστάσεις-Ταυτότητες-Παραγοντοποίηση

Εξισώσεις

Συναρτήσεις

Ισότητα και Ομοιότητα τριγώνων

Τριγωνομετρία

Β Γυμνασίου

Ασκήσεις μαθηματικών για τη Β Γυμνασίου

Ρητοί αριθμοί και εξισώσεις

Πυθαγόρειο Θεώρημα και Τετραγωνική Ρίζα

Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

Συναρτήσεις

Πρώτοι αριθμοί και Βιολογία

"Τα περιοδικά τζιτζίκια,ειδικότερα τα Magicicada septendecim, έχουν το μεγαλύτερο κύκλο ζωής από όλα τα άλλα έντομα.Ο μοναδικός αυτός κύκλος ζωής αρχίζει κάτω από το έδαφος ,όπου οι νύμφες ρουφούν υπομονετικά το χυμό από τις ρίζες των δέντρων.Κατόπιν , ύστερα από 17 χρόνια αναμονής , τα ενήλικα τζιτζίκια βγαίνουν από το έδαφος , μαζεύονται και προσωρινά κατακλύζουν το τοπίο.Μέσα σε λίγες εβδομάδες ζευγαρώνουν , γεννούν τα αβγά τους και πεθαίνουν.
  Το ερώτημα που προβλημάτιζε τους βιολόγους ήταν γιατί ο κύκλος ζωής του τζιτζικιού είναι τόσο μακρύς.Σημαίνει , άραγε , κάτι , το γεγονός οτι αυτός ο κύκλος ζωής είναι πρώτος αριθμός ετών; Ένα άλλο είδος , το Magicicada tredecim , συρρέει κατά σμήνη κάθε δεκατρία χρόνια , υποδηλώνοντας ότι ένας κύκλος ζωής που διαρκεί πρώτο αριθμό ετών προσφέρει κάποια προνόμια στην εξέλιξη.
  Μία θεωρία διατυπώνει την άποψη ότι το τζιτζίκι προσπαθεί να αποφύγει ένα παράσιτο με , επίσης , μεγάλο κύκλο ζωής.Αν το παράσιτο έχει κύκλο ζωής ,λ.χ. , δύο χρόνια , τότε το τζιτζίκι θέλει να αποφύγει έναν κύκλο ζωής που διαιρείται με το 2, αλλιώς το παράσιτο και το τζιτζίκι θα συμίπτουν συχνά.Ομοίως αν το παράσιτο έχει κύκλο ζωής τρία χρόνια , το τζιτζίκι θέλει να αποφύγει έναν κύκλο ζωής που διαιρείται με το 3, αλλιώς επίσης θα συμπίπτουν συχνά.Τελικά , η καλύτερη στρατηγική του τζιτζικιού για να αποφύγει τις συναντήσεις με το παράσιτο είναι να έχει μακρύ κύκλο ζωής , που να διαρκεί πρώτο αριθμό ετών.Επειδή κανένας αριθμός δεν διαιρεί το 17, το Magicicada septendecim σπάνια θα συναντήσει το παράσιτό του.Αν το παράσιτο έχει κύκλο ζωής 2 χρόνια θα συναντιούνται μόνο κάθε 34 χρόνια , ενώ αν έχει μεγαλύτερο κύκλο ζωής , λ.χ. 16 χρόνια , θα συναντιούνται μόνο κάθε 272 (16x17)χρόνια.
   Το παράσιτο , για να αντεπιτεθεί , διαθέτει μόνο δύο κύκλους ζωής που αυξάνουν τη συχνότητα σύμπτωσης -τον ετήσιο κύκλο και τον 17ετή κύκλο όπως το τζιτζίκι.Πάντως είναι απίθανο για το παράσιτο να επιβιώσει επανεμφανιζόμενο 17 χρόνια στη σειρά , αφού στις πρώτες 16 εμφανίσεις του δε θα υπάρχουν τζιτζίκια για να παρασιτίσει.Από την άλλη , με σκοπό να φτάσουν τον 17ετή κύκλο ζωής , οι γενιές των παρασίτων θα έπρεπε να εξελίσσονται κατά το 16ετή κύκλο ζωής.Αυτό θα σήμαινε οτι σε κάποιο στάδιο της εξέλιξης το παράσιτο και το τζιτζίκι δε θα συνέπιπταν για 272 χρόνια!Σε κάθε περίπτωση , ο μακρύς κύκλος πρώτων αριθμών ζωής του τζιτζικιού , το προστατεύει.
   Το γεγονός αυτό εξηγεί ίσως την αιτία που το υποτιθέμενο παράσιτο δεν έχει βρεθεί ποτέ!Στον αγώνα του να συμβαδίσει με το τζιτζίκι , το παράσιτο μπορεί να συνέχισε να επιμηκύνει τον κύκλο ζωής του , μέχρι που έφτασε το φράγμα των 16 ετών.Τότε απέτυχε να συμπέσει με το τζιτζίκι για 272 χρόνια και η μεγάλη αυτή έλλειψη σύμπτωσης το οδήγησε σε εξαφάνιση.Το αποτέλεσμα είναι ένα τζιτζίκι με 17ετή κύκλο ζωής , τον οποίο όμως δεν έχει πια ανάγκη , αφού το παράσιτό του έχει εξαφανιστεί."


Το παραπάνω κείμενο είναι απόσπασμα απο το βιβλίο "ΤΟ ΤΕΛΕΥΤΑΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΦΕΡΜΑ" του Simon Singh, από τις εκδόσεις ΤΡΑΥΛΟΣ

ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2011-2012

γΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2011-2012

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

(Απόσπασμα από το ΦΕΚ 1698/2011 με την εξεταστέα ύλη ημερήσιων και εσπερινών λυκείων 2011-2012)

Από το βιβλίο «Μαθηματικά» της Γ΄ τάξης Γενικού Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης των Ανδρεαδάκη Στ., κ.ά., έκδοση Ο.Ε.Δ.Β. 2011.
ΜΕΡΟΣ Α
Κεφάλαιο 2: Μιγαδικοί αριθμοί
Παρ. 2.1 Η έννοια του Μιγαδικού Αριθμού.
Παρ. 2.2 Πράξεις στο σύνολο C των Μιγαδικών.
Παρ. 2.3 Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού.  
ΜΕΡΟΣ Β
Κεφάλαιο 1: Όριο - Συνέχεια συνάρτησης
Παρ. 1.1 Πραγματικοί αριθμοί.
Παρ. 1.2 Συναρτήσεις.
Παρ. 1.3 Μονότονες συναρτήσεις- Αντίστροφη συνάρτηση.
Παρ. 1.4 Όριο συνάρτησης στο Χο
Παρ. 1.5 Ιδιότητες των ορίων, χωρίς τις αποδείξεις της υποπαραγράφου "Τριγωνομετρικά όρια"
Παρ. 1.6 Μη πεπερασμένο όριο στο Χο.
Παρ. 1.7 Όρια συνάρτησης στο άπειρο.
Παρ. 1.8 Συνέχεια συνάρτησης.
Κεφάλαιο 2: Διαφορικός Λογισμός
Παρ. 2.1 Η έννοια της παραγώγου, χωρίς την υποπαράγραφο "Κατακόρυφη εφαπτομένη"
Παρ. 2.2 Παραγωγίσιμες συναρτήσεις- Παράγωγος συνάρτηση.
Παρ. 2.3 Κανόνες παραγώγισης, χωρίς την απόδειξη του θεωρήματος που αναφέρεται στην παράγωγο γινομένου συναρτήσεων.
Παρ. 2.4 Ρυθμός μεταβολής.
Παρ. 2.5 Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού.
Παρ. 2.6 Συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής.
Παρ. 2.7 Τοπικά ακρότατα συνάρτησης, χωρίς το θεώρημα της σελίδας 264 (κριτήριο της 2ης παραγώγου).
Παρ. 2.8 Κυρτότητα - Σημεία καμπής συνάρτησης. (Θα μελετηθούν μόνο οι συναρτήσεις που είναι δύο, τουλάχιστον, φορές παραγωγίσιμες στο εσωτερικό του πεδίου ορισμού τους).
Παρ. 2.9 Ασύμπτωτες - Κανόνες De l’ Hospital.
Παρ. 2.10 Μελέτη και χάραξη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης.
Κεφάλαιο 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός
Παρ. 3.1 Αόριστο ολοκλήρωμα. (Μόνο η υποπαράγραφος "Αρχική συνάρτηση" που θα συνοδεύτεται από πίνακα παραγουσών συναρτήσεων η οποίος θα περιλαμβάνεται στις διδακτικές οδηγίες)
Παρ. 3.4 Ορισμένο ολοκλήρωμα
Παρ. 3.5. Η συνάρτηση F(x) =
Παρ. 3.7 Εμβαδόν επιπέδου χωρίου, χωρίς την εφαρμογή 3 της σελίδας 348.
Παρατηρήσεις
- Η διδακτέα - εξεταστέα ύλη θα διδαχτεί σύμφωνα με τις οδηγίες του Π.Ι.
- Τα θεωρήματα, οι προτάσεις, οι αποδείξεις και οι ασκήσεις που φέρουν αστερίσκο δε διδάσκονται και δεν εξετάζονται.
- Οι εφαρμογές και τα παραδείγματα των βιβλίων δεν εξετάζονται ούτε ως θεωρία ούτε ως ασκήσεις. Μπορούν, όμως, να χρησιμοποιηθούν ως προτάσεις για τη λύση ασκήσεων ή την απόδειξη άλλων προτάσεων.
- Εξαιρούνται από την εξεταστέα-διδακτέα ύλη οι εφαρμογές και οι ασκήσεις που αναφέρονται σε λογαρίθμους με βάση διαφορετική του e και του 10.

Η σπαζοκεφαλιά με τους κύκλους

Μπορείτε να τοποθετήσετε έναν από τους αριθμούς 1,2,3,4,5,6,7,8,9
σε κάθε ένα από τα 9 καμπυλόγραμμα μέρη που
δημιουργήθηκαν από τους κύκλους
έτσι ώστε το άθροισμα των αριθμών σε κάθε
κύκλο να είναι το 11;

Σχετικά με το π

Τι είναι το π ?
1. Το 16ο γράμμα του ελληνικού αλφαβήτου
2.Μαθ. α) Το γράμμα π συμβολίζει το λόγο της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του.
             β) Ο αριθμός 3,141592.....

 Γνωρίζετε όμως ότι :

-Το πρώτο εκατομμύριο δεκαδικών ψηφίων του π αποτελέιται από 99.959 μηδενικά,99.758 μονάδες, 100.026 δυάρια, 100.229 τριάρια, 100.230 τεσσάρια, 100.359 πεντάρια, 99.548 εξάρια, 99.800 επτάρια, 99.985 οκτάρια και 100.106 εννιάρια.

-Η ακολουθία 123456789 εμφανίζεται για πρώτη φορά στο 523.551.502ο ψηφίο.

-Τα πρώτα 144 ψηφία του π έχουν άθροισμα 666.

-Ο Αινσταιν γεννήθηκε στην Ουλμ της Γερμανίας μια μέρα που θυμίζει το π: τον 3ο μήνα,τη 14η μέρα του 1879.

-Πι είναι η ονομασία της ανατολικογερμανικής κατασκοπευτικής οργάνωσης στην ταινία του Άλφρεντ Χίτσκοκ : Σχισμένο παραπέτασμα.

-Το Φεβρουάριο του 1995 ο Χιρογιούκι Γκότο σημείωσε νέο παγκόσμιο ρεκόρ , απαγγέλοντας από μνήμης 42.000 ψηφία του π. Του πήρε λίγο περισσότερο από 9 ώρες.

-π είναι ο λόγος του εμβαδού του κύκλου προς το εμβαδόν τετραγώνου που η πλευρά του είναι ίση με την ακτίνα του κύκλου.

'Ισως κανένα άλλο μαθηματικό σύμβολο δεν γέννησε τόσο μυστήριο,ρομαντισμό , παρανοήσεις και ανθρώπινο ενδιαφέρον όσο ο αριθμός π.

Για περισσότερα διαβάστε εδώ :www.joyofpi.com

Το πρόβλημα με τα αυγά

Υπάρχουν τριών ειδών αυγά.
Τα αυγά Α που κοστίζουν 0,50 ευρώ το ένα,
τα αυγά Β που κοστίζουν 2 ευρώ το ένα
και τα αυγά Γ που κοστίζουν 3 ευρώ το ένα.
Θέλω να πάρω 20 αυγά,που να κοστίζουν συνολικά 20 ευρώ
και να υπάρχει τουλάχιστον ένα αυγό από το κάθε είδος.
Πόσα πρέπει να πάρω από τα Α,πόσα από τα Β και πόσα από τα Γ ;

Ένα περίεργο παιχνίδι!

Έστω το εξής υποθετικό παιχνίδι.
Είστε ν άτομα σε ένα δωμάτιο και καλείται κάθε ένας από εσάς να επιλέξει έναν αριθμό από το 1 έως το 100 χωρίς να γνωρίζει τις απαντήσεις των άλλων.
Κάποιος που σημειώνει τις απαντήσεις όλων,παίρνει τον μεγαλύτερο αριθμό που επιλέχτηκε,τον διαιρεί δια του 2 και σε αυτόν που έχει πλησιάσει περισσότερο δίνει το ποσό που επέλεξε σε χιλιάδες ευρώ.
Π.χ αν η μέγιστη επιλογή ήταν το 100 τότε αυτός που επέλεξε 50 κερδίζει 50.000 ευρώ!!
Σε περίπτωση ισοπαλίας τα κέρδη μοιράζονται μεταξύ των νικητών.
Εσείς ποιον αριθμό θα επιλέγατε για να είστε νικητής σε αυτό το περίεργο παιχνίδι?

Συμμετρία

Γράψτε σε ένα χαρτί τις λέξεις :
ΒΟΗΘΟΣ
ΑΓΩΝΑΣ
ΦΟΒΟΣ
ΕΞΟΧΗ
ΑΣΚΗΣΗ
γυρίστε το χαρτί ανάποδα και προσπαθήστε να διαβάσετε τις λέξεις αυτές μέσα από έναν καθρέφτη.
Τι παρατηρείτε?
Κάποιες από αυτές διαβάζονται κανονικά και κάποιες όχι.
Γιατί συμβαίνει αυτό?
Τα γράμματα Β,Ε,Η,Θ,Ι,Κ,Ξ,Ο,Σ,Φ,Χ διαβάζονται κανονικά γιατί είναι συμμετρικά ώς προς άξονα συμμετρίας την οριζόντια ευθεία που διέρχεται από το κέντρο τους.Έτσι σε αυτό το μετασχηματισμό τα είδωλά τους παραμένουν ίδια.
Τα γράμματα που δεν έχουν αυτή τη συμμετρία αλλοιώνονται με την εν λόγω διαδικασία.
Γράμματα που είναι συμμετρικά ώς προς άξονα συμμετρίας την κατακόρυφη ευθεία που περνάει από το κέντρο τους παραμένουν αναλλοίωτα αν τα κοιτάξετε μέσα σ'έναν καθρέφτη χωρίς να τα αναποδογυρίσετε.Για παράδειγμα , δοκιμάστε να διαβάσετε μέσα από ένα καθρέφτη (χωρίς να αναποδογυρίσετε) την λέξη ΑΥΤΟΜΑΤΟ γραμμένη κατακόρυφα.
Α
Υ
Τ
Ο
Μ
Α
Τ
Ο
θα παρατηρήσετε οτι διαβάζεται κανονικά!!
Τη συμμετρία την συναντάμε σε πολλές περιπτώσεις στην φύση,στην τέχνη και στην καθημερινή μας ζωή.
Είναι απλά μαθηματικά!

Υπερβολή

Υπερβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που η διαφορά των αποστάσεών του από δύο σημεία Ε και Ε' (εστίες) είναι σταθερή.
Δηλαδή (ΜΕ)-(ΜΕ')=2α .
Το παρακάτω γραφικό δείχνει την κατασκευή της υπερβολής με το πρόγραμμα geogebra.
Δεν το έφτιαξα εγώ, το βρήκα στο internet,αλλά θεωρώ πως είναι μια πολύ καλή δουλειά.
Δείτε το! Κατασκευή υπερβολής.

Έλλειψη

Ορίστε δύο σημεία Ε και Ε'.Δέστε ένα σχοινί γύρω τους (το μήκος του σχοινιού είναι σταθερό) και σημειώστε το σχήμα που θα εμφανιστεί μετακινώντας το μολύβι αλλά κρατώντας το σχοινί τεντωμένο όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα.

Το σχήμα αυτό ονομάζεται έλλειψη με εστίες τα δύο σταθερά σημεία.

Μέχρι το 17ο αιώνα θεωρούνταν οτι οι πλανήτες κινούνταν σε κυκλικές τροχιές γύρω από τον ήλιο.
Στις αρχές του 17ου αιώνα ανακαλύφθηκε οτι οι πλανήτες κινούνται σε ελλειπτικές τροχιές και οτι ο ήλιος βρίσκεται σε μια από τις εστίες της έλλειψης!
Παρακάτω θα δείτε μια κατασκευή της έλλειψης με τη βοήθεια του λογισμικού geogebra.
κατασκευή έλλειψης .
καθώς και την ανακλαστική ιδιότητα της έλλειψης ανακλαστική ιδιότητα.

Παραβολή

Η παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από ένα σημείο (εστία) και μια ευθεία (διευθετούσα).
Παρακάτω φαίνεται η κατασκευή της παραβολής με το πρόγραμμα geogebra.

Κατασκευή Παραβολής

καθώς και η ανακλαστική ιδιότητα της παραβολής

Ανακλαστική ιδιότητα

Ο αριθμός e

 Μια τράπεζα προσφέρει ετήσιο επιτόκιο 100% (λέμε τώρα!!!) και μια άλλη 50% το εξάμηνο και μια τρίτη 33,33% το τετράμηνο.
Αν καταθέτατε εσείς τα χρήματά σας ποια από τις τρεις περιπτώσεις θα επιλέγατε;
Φαίνεται να είναι το ίδιο αλλά είναι όντως;
Ας υποθέσουμε οτι δανείζετε εσείς σε έναν φίλο σας 1 ευρώ με 100% ετήσιο επιτόκιο.
Σε ένα χρόνο θα έχετε πάρει 1+1=2 ευρώ δηλαδή θα έχετε διπλασιάσει το ποσό σας.
Με 50% επιτόκιο 2 φορές το χρόνο, θα λάβετε 1+1/2 ευρώ το πρώτο εξάμηνο και στο τέλος του χρόνου 1+1/2 φορές αυτού του ποσού δηλαδή (1+1/2)²=2.25 ευρώ.
Ομοίως με επιτόκιο 33.33% το τετράμηνο θα λάβετε  λίγο παραπάνω δηλαδη (1+1/3)³=2.37 ευρώ .
Παρατηρούμε πως το ποσό αυξάνεται αν αυξήσουμε τη συχνότητα ανατοκισμού μέσα στο χρόνο.Αυτό σημαίνει πώς με αυτόν τον τρόπο μπορείτε να βγάλετε μια περιουσία; 
Η απάντηση είναι μάλλον όχι
Γιατί το όριο  τείνει σε πεπερασμένο αριθμό καθώς το n τείνει στο άπειρο.
Ο αριθμός αυτός είναι ο e=2,7182818284.... και έχει πάρει το συμβολισμό του από το πρώτο γράμμα του ονόματος του μαθηματικού Leonhard Euler(1707-1783).

Οι τιμές του n έχουν μεγάλη σημασία όταν παραμένουν "μικρές".Από μια τιμή όμως και μετά , όσο κι αν αυξάνεται το n , το τελικό ποσό αυξάνεται ελάχιστα.
Ο άρρητος αυτός αριθμός συναντάται σε πολλές πρακτικές εφαρμογές αλλά ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η συνάρτηση 
                                  f(x)=



γιατί είναι μια συνάρτηση όπου ο ρυθμός ματαβολής της ισούται με τον εαυτό της.Η γραφική της παράσταση είναι η παρακάτω

 

όπου φαίνεται πως η εκθετική αύξηση είναι ραγδαία! 

Τελειώνοντας, σας δίνω ένα "διαφορετικό" sudoku αφιερωμένο στον Leonhard Euler.

Kάθε ένα από τα Σ,φ,i,e,π,0,1,γ,f  πρέπει να τοποθετηθούν έτσι ώστε να εμφανίζονται μία μόνο φορά σε κάθε στήλη,κάθε γραμμή και σε κάθε τετράγωνο που σχηματίζεται από 9 μικρότερα τετράγωνα.
Τα σύμβολα αυτά σχετίζονται όλα με τον μεγάλο μαθηματικό  5 από τα οποία βρίσκονται στη γνωστή σχέση:

 Δοκιμάστε το!

Ισότητα

Αν       1=5
          2=25
          3=325
          4=4325
τότε    5= ?

Το δίλημμα του κρατούμενου

Δύο ληστές, ο Α και ο Β , συλλαμβάνονται και κρατούνται για ανάκριση.Ο κάθε κρατούμενος έχει την επιλογή είτε να ομολογήσει είτε να μην ομολογήσει.Αν κανένας από τους δύο δεν ομολογήσει τότε λόγω έλλειψης στοιχείων θα τιμωρηθούν από 1 χρόνο ο καθένας.Αν και οι δύο ομολογήσουν τότε η τιμωρία τους θα είναι 5 χρόνια έκαστος.Εάν όμως ο ένας ομολογήσει (και εμπλέξει τον άλλο) και ο άλλος όχι τότε αυτός που ομολόγησε θα αφεθεί ελεύθερος επειδή συνεργάστηκε με τις αρχές και ο άλλος θα τιμωρηθεί με 10 χρόνια φυλάκιση.Να τονίσουμε οτι η ανάκριση θα γίνει στον κάθε κρατούμενο ξεχωριστά κι έτσι ο ένας δεν μπορεί να γνωρίζει τι θα πει ο άλλος στην κατάθεσή του και ούτε μπορούν να συνεννοηθούν για την στρατηγική τους.

Παρακάτω φαίνονται ολα τα δυνατά αποτελέσματα της ανάκρισης αυτής.

Ο πρώτος αριθμός δείχνει την ποινή του κρατούμενου Α και ο δεύτερος την ποινή του κρατούμενου Β σε κάθε περίπτωση.
Τι πρέπει να κάνει ο κάθε κρατούμενος,να ομολογήσει ή οχι , για να επιτύχει το καλύτερο αποτέλεσμα;
Ας υποθέσουμε πως μπορεί να σκεφτεί ο κρατούμενος Α.
1η περίπτωση: Αν ο Β ομολογήσει τότε ο Α ή θα ομολογήσει και θα φυλακιστεί 5 χρόνια ή δε θα ομολογήσει και θα φυλακιστεί 10.Άρα καλύτερα να ομολογήσει.
2η περίπτωση:Αν ο Β δεν ομολογήσει,τότε ο Α ή θα ομολογήσει και θα αφεθεί ελεύθερος ή δεν θα ομολογήσει και θα φυλακιστεί 1 χρόνο.Άρα καλύτερα να ομολογήσει.
Και στις δύο περιπτώσεις λοιπόν είναι καλύτερα να ομολογήσει!!
Με την ίδια λογική πιθανότατα να σκεφτεί και ο Β και έτσι έχοντας ομολογήσει και οι δύο,θα καταληξουν στη φυλακή 5 χρόνια ο καθένας.
Το παράδοξο είναι πως η επικράτηση της λογικής δεν οδήγησε τους δύο αυτούς κρατούμενους στο βέλτιστο δυνατό αποτέλεσμα!

mensa test 2

0	1000 Δ σε ένα Χ	1000 ΔΡΑΧΜΕΣ ΣΕ ΕΝΑ ΧΙΛΙΑΡΙΚΟ
1	28 Η του Σ Μ
2	4 Ε σε ένα Α Π
3	9 Π του Η Σ
4	18 X της Ε
5	180 Ψ για την Ε του Π Δ
6	35 Μ και 60 Μ
7	3 Π σε μία Γ
8	1852 Μ σε ένα Ν Μ
9	8 Σ σε ένα Ο
10	7 Ψ της Γ
11	1 Μ του Κ
12	5 E A
13	3 Α σε ένα Μ Ν
14	4 Α του Σ
15	5 Χ Σ στο Π
16	3 Κ Κ της Ε Τ
17	3 B του Α των Δ
18	4 Χ σε ένα Η Μ
19	25 Α της Π Θ
20	11 τα Ο του Τ
21	33 τα Χ του Μ Α
22	37 οι Α της Ρ (με το Μ)
23	50 Α στην Α Σ
24	100 A B στο Κ Ο
25	20 Ν στο Α Σ
26	9 οι Μ της Κ
27	6 Τ του Α Μ
28	12 οι Μ της Σ Θ
29	4 Ν της Κ
30	10000 Σ στους Τ Κ
31	340 Μ το Δ είναι η Τ του Η
32	3 τα Χ του Φ Σ
33	5 Ω της Γ

Ας παίξουμε

Τοποθετούμε 6 πούλια του τάβλι,3 μαύρα και 3 άσπρα σε έναν γραμμικό πίνακα όπως φαίνεται στην εικόνα.

 
O σκοπός του παιχνιδιού είναι να εναλλάξετε τα άσπρα με τα μαύρα πούλια μετακινώντας τα με τους εξής τρόπους.
1.Μπορείτε να μετακινήσετε τα μαύρα μόνο προς τα δεξιά και τα άσπρα μόνο προς τα αριστερά.
2.Κάθε πούλι μπορεί είτε να "γλιστρήσει" στη διπλανή κενή θέση, είτε, να υπερπηδήσει ενα πούλι διαφορετικού χρώματος και να βρεθεί στην αμέσως επόμενη κενή.
Ποιός είναι ο ελάχιστος αριθμός κινήσεων που μπορείτε να κάνετε για να το καταφέρετε αυτό.
Δοκιμάστε το!!!