Όμορφα μαθηματικά

                                           1x8+1=9
                                         12x8+2=98
                                       123x8+3=987
                                     1234x8+4=9876
                                   12345x8+5=98765
                                 123456x8+6=987654
                               1234567x8+7=9876543
                             12345678x8+8=98765432
                           123456789x8+9=987654321
_____________________________________________________

                                   1x9+2=11
                                 12x9+3=111
                               123x9+4=1111
                             1234x9+5=11111
                           12345x9+6=111111
                         123456x9+7=1111111
                       1234567x9+8=11111111
                     12345678x9+9=111111111
                  123456789x9+10=1111111111
_____________________________________________________

                             9x9+7=88
                           98x9+6=888
                         987x9+5=8888
                       9876x9+4=88888
                     98765x9+3=888888
                   987654x9+2=8888888
                 9876543x9+1=88888888
               98765432x9+0=888888888

______________________________________________________

                                      1x1=1
                                  11x11=121
                              111x111=12321
                          1111x1111=1234321
                      11111x11111=123454321
                  111111x111111=12345654321
              1111111x1111111=1234567654321
          11111111x11111111=123456787654321
      111111111x111111111=12345678987654321
_______________________________________________________

                                             6x7=42
                                         66x67=4422
                                     666x667=444222
                                 6666x6667=44442222
                             66666x66667=4444422222
                         666666x666667=444444222222
                     6666666x6666667=44444442222222
                 66666666x66666667=4444444422222222
..........................................................................................

Tαυτότητες

Μια γεωμετρική απόδειξη των ταυτοτήτων για την Γ γυμνασίου.

ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ
Ας πάρουμε ένα τετράγωνο πλευράς α, ένα τετράγωνο πλευράς β
και δύο ορθογώνια διαστάσεων α, β όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Tο εμβαδόν των τετραγώνων είναι Ε1=α² και Ε2=β² αντίστοιχα 
ενώ του ορθογωνίου Ε3=αβ.
Τα τοποθετούμε κατάλληλα έτσι ώστε να μας φτιάξουν ένα μεγάλο τετράγωνο.

Το νέο τετράγωνο έχει πλευρά α+β άρα το εμβαδόν του είναι Ε=(α+β)²
Έτσι έχουμε      Ε=Ε1 + Ε2 +2Ε3
                Άρα   (α+β)²=α² + β² + 2αβ   !!


ΔΙΑΦΟΡΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ
Ας πάρουμε τώρα τα τετράγωνα του προηγούμενου σχήματος και ας υπολογίσουμε 
την επιφάνεια που ορίζεται από τη διαφορά των εμβαδόν τους.

Η επιφάνεια που θέλουμε να υπολογίσουμε είναι δύο ορθογώνια.
Το ένα διαστάσεων α , α-β  και το άλλο β , α-β.

Άρα         Ε2-Ε1=α (α-β) + β (α-β)
δηλαδή  α²-β²=α (α-β) + β(α-β)
                  α²-β²= (α+β)(α-β)   !!!

Με την ίδια διαδικασία και με την βοήθεια του παρακάτω σχήματος μπορούμε 
να αποδείξουμε και άλλη μία ταυτότητα.

Οτι (α+β+γ)²=α²+β²+γ²+2αβ+2βγ+2αγ !!!
Τα μαθηματικά είναι απλά και θέλουν φαντασία!!








              

Ο γρίφος του Αινστάιν

Υπάρχουν πέντε σπίτια πέντε διαφορετικών χρωμάτων. Σε κάθε σπίτι ζει ένας άνθρωπος διαφορετικής εθνικότητας. Οι πέντε ιδιοκτήτες πίνουν ένα συγκεκριμένο είδος ποτού. Καπνίζουν μία συγκεκριμένη μάρκα τσιγάρων και έχουν ένα συγκεκριμένο κατοικίδιο. 'Ολοι έχουν μεταξύ τους διαφορετικά κατοικίδια, διαφορετικές μάρκες τσιγάρων και διαφορετικά είδη ποτών.  Η ερώτηση είναι: Ποιος έχει το ψάρι;  ΣΤΟΙΧΕΙΑ: 1. Ο Αγγλος μένει στο κόκκινο σπίτι. 2. Ο Σουηδός έχει σκύλο. 3. Ο Δανός πίνει τσάι. 4. Το πράσινο σπίτι είναι αριστερά από το άσπρο σπίτι. 5. Ο ιδιοκτήτης του πράσινου σπιτιού πίνει καφέ. 6. Αυτός που καπνίζει Pall mall εκτρέφει πουλιά. 7. O ιδιοκτήτης του κίτρινου σπιτιού καπνίζει Dunhill. 8. Αυτός που μένει στο μεσαίο σπίτι πίνει γάλα. 9. Ο Νορβηγός μένει στο πρώτο σπίτι. 10. Αυτός που καπνίζει Blends μένει δίπλα σ' αυτόν που έχει γάτες. 11. Αυτός που έχει το άλογο μένει δίπλα σ' αυτόν που        καπνίζει Dunhill. 12. Ο ιδιοκτήτης που καπνίζει BluemaSters πίνει μπύρα. 13. Ο Γερμανός καπνίζει Prince. 14. Ο Νορβηγός μένει δίπλα στο μπλε σπίτι. 15. Αυτός που καπνίζει Blends έχει ένα γείτονα που πΙνει νερό. Ο Αϊνστάιν έγραψε αυτό το γρίφο στον 20ό αιώνα. Υποστήριξε ότι το 98% των ανθρώπων δε μπορούν να τον λύσουν.

Πυθαγόρειο Θεώρημα

Μια οικογένεια έχει το σπίτι της χτισμένο σε ένα οικόπεδο σχήματος ορθογωνίου τριγώνου με πλευρές α,β,γ.Στον πατέρα ανήκουν και τρία τετράγωνα χωράφια το καθένα με πλευρά όσο και οι πλευρές του τριγώνου,γύρω από το οικόπεδο όπως φαίνεται στο σχήμα.

Θέλει να δώσει τα χωράφια αυτά στους δύο γιους του αλλά χωρίς να αδικήσει κανέναν.Αποφασίζει να δώσει στον ένα το μεγάλο χωράφι (πράσινο) και στον άλλο τα δύο μικρά (κόκκινα).
Τι λέτε είναι δίκαιη η μοιρασιά;
Η απάντηση είναι εύκολη.
Οι δύο αυτές επιφάνειες έχουν ακριβώς το ίδιο εμβαδόν!
Αν Ε είναι το εμβαδόν του μεγάλου τετραγώνου και Ε1+Ε2 το εμβαδόν των δύο μικρότερων τότε
 Ε=Ε1+Ε2 δηλαδή

Η πρόταση αυτή είναι γνωστή ώς Πυθαγόρειο Θεώρημα και υπάρχουν περισσότερες από 300 αποδείξεις.Εμείς θα δούμε εδώ μία από αυτές.
Τα τετράγωνα στα παρακάτω σχήματα έχουν και τα δύο πλευρά β+γ άρα έχουν το ίδιο εμβαδόν.

Επομένως ισχύει        Ε+4ε=Ε1+Ε2+4ε
                                      Ε=Ε1+Ε2

 Το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών!

Χιονοπόλεμος

Μια μέρα του χειμώνα,που έξω χιονίζει,οι μαθητές θέλουν να βγουν  να παίξουν χιονοπόλεμο.
Ο καθηγητής τους επιτρέπει να πετάξουν μία μόνο χιονόμπαλα ο καθένας και στο άτομο που βρίσκεται πιο κοντά τους.Εάν δύο ή περισσότερα άτομα βρίσκονται στην ίδια απόσταση τότε μπορούν να επιλέξουν τυχαία σε ποιον από αυτούς θα πετάξουν την χιονόμπαλα.
Η ερώτηση είναι ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός χιονόμπαλων που μπορεί να δεχτεί ο πιο άτυχος μαθητής ;


Η απάντηση είναι 6!!!
Για να το δούμε μαζί.Στην αρχή θα σκεφτούμε πως αν οι μαθητές είναι στη σειρά ,τότε ο μέγιστος αριθμός αριθμός χιονόμπαλων που θα δεχτεί ο καθένας είναι δύο.Αλλά μετά ίσως πούμε πως αν οι μαθητές είναι σε έναν κύκλο τότε αυτός που είναι στο κέντρο μπορεί να δεχτεί τις περισσότερες ,πλην μια,τη δική του.Αυτό όμως δεν είναι σωστό γιατί στον κύκλο αυτός που θα είναι δίπλα τους θα είναι πιο κοντά τους.Άρα θα πρέπει να είναι τοποθετημένοι έτσι  ώστε, όσο απέχουν από το κέντρο του κύκλου,τόσο να απέχουν και από το διπλανό τους.Αυτό συμβαίνει αν οι μαθητές σχηματίζουν ένα κανονικό εξάγωνο.

Είναι γνωστό πως οι κορυφές του εξαγώνου απέχουν η μία από την άλλη όσο και η κάθε μία από το κέντρο.Δηλαδή η πλευρά του κανονικού εξαγώνου ισούται με την ακτίνα του κύκλου στον οποίο εγγράφεται το εξάγωνο!

Το "μυστήριο" των αρνητικών αριθμών

Μαθητής: -3-5=+8
Καθηγητής: Γιατί + ;
Μ.Μα αφού (-)(-) κάνει (+).
Κ.Αυτό ισχύει στον πολλαπλασιασμό,εδώ έχουμε πρόσθεση.
Μ.Πρόσθεση;;;Αφού έχει (-) ανάμεσα.

Τι είναι αυτό που δυσκολεύει τους μαθητές του Γυμνασίου (πολλές φορές και μεγαλύτερους μαθητές) τόσο πολύ στα πρόσημα;
Καταρχήν είναι κάτι απόλυτα δικαιολογημένο.
Ας πάρουμε για παράδειγμα την εξίσωση 6+x=0.
Πως είναι δυνατόν να προσθέτουμε στο 6 μια ποσότητα και να βρίσκουμε μηδέν!!!
Είναι αλήθεια πως οι αρνητικοί αριθμοί αποτελούν για τους μαθητές ένα μυστήριο.
Έυκολα μπορούν να κατανοήσουν  και να δεχτούν την αναγκαιότητα των αρνητικών αριθμών στην ζωή μας με απλά παραδείγματα.Η θερμοκρασία το χειμώνα πέφτει συχνά κάτω από το μηδέν,τα πολυκαταστήματα έχουν συχνά 1,2 ή και 3 ορόφους κάτω από το ισόγειο για parking,η πτώση της στάθμης μιας λίμνης και αν σκεφτούμε μπορούμε να βρούμε και άλλα παρόμοια παραδείγματα.
Το θέμα περιπλέκεται ακόμα περισσότερο όταν αυτούς τους αριθμούς πρέπει να τους προσθέσουμε ή να τους πολλαπλασιάσουμε.
Ας τοποθετήσουμε όλους τους πραγματικούς αριθμούς σε μια ευθεία (άξονας).Στη μέση το μηδέν,δεξιά του μηδενός τους θετικούς αριθμούς, που είναι άπειροι ,και αριστερά του , τους αρνητικους φτιάχνοντας μια όμορφη συμμετρία.
Η πρόσθεση των πραγματικών αριθμών είναι αρκετά απλή , αν το σκεφτούμε λίγο.
Για παράδειγμα -3+5 σημαίνει  (ξεκινώντας από το μηδέν πάντα) να μετακινηθούμε 3 θέσεις προς τα αριστερά και έπειτα 5 θέσεις δεξιά,βρισκόμαστε στο +2.Αντίστοιχα -7+6 σημαίνει να μετακινηθούμε 7 θέσεις προς τα αριστερά και μετά 6 θέσεις δεξιά,θα βρεθούμε στο -1.Όμοια -3-5, 3 θέσεις αριστερά και αλλες 5 θέσεις αριστερά και είμαστε στο -8.
Τι συμβαίνει όμως με τον πολλαπλασιασμό; Γιατί (-2)x(-5)=+10 ; Γιατί όταν υψώνουμε  στο τετράγωνο έναν αρνητικό αριθμό το αποτέλεσμα είναι πάντα θετικό;
Ας ξεκινήσουμε με το γινόμενο 5x(-2).Θα μετακινηθούμε 2 θέσεις αριστερά και θα επαναλάβουμε αυτή τη διαδικασία 5 φορές,άρα θα φτάσουμε στο -10.
Εάν τώρα έχουμε  (-5)x(-2),αυτό σημαίνει πως θα μετακινηθούμε 2 θέσεις προς τα αριστερά και θα επαναλάβουμε αυτή τη διαδικασία 5 φορές αλλά προς την αντίθετη κατεύθυνση,δηλαδή προς τα δεξιά,άρα +10!!!
Ας υποθέσουμε , τέλος, ότι πάνω στην ευθεία των αριθμών,βρίσκεται κάποιος στο μηδέν και δεν κάνει βήμα,κάποιος άλλος κάνει 5 βήματα προς τα δεξιά (+5) και κάποιος άλλος 5 βήματα προς τα αριστερά (-5).Δεν μπορούμε να πούμε οτι οι δύο τελευταίοι έκαναν ακριβώς τα ίδια βήματα;Αυτός που είναι στο -5 δεν έκανε περισσότερα βήματα από αυτόν που έμεινε ακίνητος; 'Αρα όλα είναι θέμα ορισμού και τα μαθηματικά είναι απλά και θέλουν φαντασία!!!

Ξέρω τι σκέφτεστε....

Ας δοκιμάσουμε ένα απλό,πολύ εύκολο προβληματάκι.
Σκεφτείτε έναν αριθμό από το 1 έως το 9.
Πολλαπλασιάστε τον με το 9.
Προσθέστε τα ψηφία του αριθμού που έχετε τώρα. (π.χ. αν έχετε 16 τότε 1+6=7)
Από αυτόν τον αριθμό που βρήκατε αφαιρέστε το 5.
Βρείτε σε ποιο γράμμα της αλφαβήτου αντιστοιχεί το αποτέλεσμα.(π.χ.1=Α, 2=Β, κ.τ.λ)
Σκεφτείτε μία χώρα που αρχίζει από αυτό το γράμμα.
Σκεφτείτε δύο ζώα που να αρχίζουν από το γράμμα που είναι στην αλφαβήτα αμέσως μετά από το γράμμα που είχατε στο προηγούμενο ερώτημα.

Τώρα θα προσπαθήσω να μαντέψω ποια χώρα και ποια ζώα σκεφτήκατε!

Είμαι σχεδόν  σίγουρη ότι η χώρα είναι η Δανία και τα ζώα το ελάφι και ο ελέφαντας.
Μάντεψα σωστά; ε...δεν έκανα και τίποτα σπουδαίο...είναι απλά μαθηματικά!