Ένα περίεργο παιχνίδι!

Έστω το εξής υποθετικό παιχνίδι.
Είστε ν άτομα σε ένα δωμάτιο και καλείται κάθε ένας από εσάς να επιλέξει έναν αριθμό από το 1 έως το 100 χωρίς να γνωρίζει τις απαντήσεις των άλλων.
Κάποιος που σημειώνει τις απαντήσεις όλων,παίρνει τον μεγαλύτερο αριθμό που επιλέχτηκε,τον διαιρεί δια του 2 και σε αυτόν που έχει πλησιάσει περισσότερο δίνει το ποσό που επέλεξε σε χιλιάδες ευρώ.
Π.χ αν η μέγιστη επιλογή ήταν το 100 τότε αυτός που επέλεξε 50 κερδίζει 50.000 ευρώ!!
Σε περίπτωση ισοπαλίας τα κέρδη μοιράζονται μεταξύ των νικητών.
Εσείς ποιον αριθμό θα επιλέγατε για να είστε νικητής σε αυτό το περίεργο παιχνίδι?

Συμμετρία

Γράψτε σε ένα χαρτί τις λέξεις :
ΒΟΗΘΟΣ
ΑΓΩΝΑΣ
ΦΟΒΟΣ
ΕΞΟΧΗ
ΑΣΚΗΣΗ
γυρίστε το χαρτί ανάποδα και προσπαθήστε να διαβάσετε τις λέξεις αυτές μέσα από έναν καθρέφτη.
Τι παρατηρείτε?
Κάποιες από αυτές διαβάζονται κανονικά και κάποιες όχι.
Γιατί συμβαίνει αυτό?
Τα γράμματα Β,Ε,Η,Θ,Ι,Κ,Ξ,Ο,Σ,Φ,Χ διαβάζονται κανονικά γιατί είναι συμμετρικά ώς προς άξονα συμμετρίας την οριζόντια ευθεία που διέρχεται από το κέντρο τους.Έτσι σε αυτό το μετασχηματισμό τα είδωλά τους παραμένουν ίδια.
Τα γράμματα που δεν έχουν αυτή τη συμμετρία αλλοιώνονται με την εν λόγω διαδικασία.
Γράμματα που είναι συμμετρικά ώς προς άξονα συμμετρίας την κατακόρυφη ευθεία που περνάει από το κέντρο τους παραμένουν αναλλοίωτα αν τα κοιτάξετε μέσα σ'έναν καθρέφτη χωρίς να τα αναποδογυρίσετε.Για παράδειγμα , δοκιμάστε να διαβάσετε μέσα από ένα καθρέφτη (χωρίς να αναποδογυρίσετε) την λέξη ΑΥΤΟΜΑΤΟ γραμμένη κατακόρυφα.
Α
Υ
Τ
Ο
Μ
Α
Τ
Ο
θα παρατηρήσετε οτι διαβάζεται κανονικά!!
Τη συμμετρία την συναντάμε σε πολλές περιπτώσεις στην φύση,στην τέχνη και στην καθημερινή μας ζωή.
Είναι απλά μαθηματικά!

Υπερβολή

Υπερβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που η διαφορά των αποστάσεών του από δύο σημεία Ε και Ε' (εστίες) είναι σταθερή.
Δηλαδή (ΜΕ)-(ΜΕ')=2α .
Το παρακάτω γραφικό δείχνει την κατασκευή της υπερβολής με το πρόγραμμα geogebra.
Δεν το έφτιαξα εγώ, το βρήκα στο internet,αλλά θεωρώ πως είναι μια πολύ καλή δουλειά.
Δείτε το! Κατασκευή υπερβολής.

Έλλειψη

Ορίστε δύο σημεία Ε και Ε'.Δέστε ένα σχοινί γύρω τους (το μήκος του σχοινιού είναι σταθερό) και σημειώστε το σχήμα που θα εμφανιστεί μετακινώντας το μολύβι αλλά κρατώντας το σχοινί τεντωμένο όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα.

Το σχήμα αυτό ονομάζεται έλλειψη με εστίες τα δύο σταθερά σημεία.

Μέχρι το 17ο αιώνα θεωρούνταν οτι οι πλανήτες κινούνταν σε κυκλικές τροχιές γύρω από τον ήλιο.
Στις αρχές του 17ου αιώνα ανακαλύφθηκε οτι οι πλανήτες κινούνται σε ελλειπτικές τροχιές και οτι ο ήλιος βρίσκεται σε μια από τις εστίες της έλλειψης!
Παρακάτω θα δείτε μια κατασκευή της έλλειψης με τη βοήθεια του λογισμικού geogebra.
κατασκευή έλλειψης .
καθώς και την ανακλαστική ιδιότητα της έλλειψης ανακλαστική ιδιότητα.

Παραβολή

Η παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από ένα σημείο (εστία) και μια ευθεία (διευθετούσα).
Παρακάτω φαίνεται η κατασκευή της παραβολής με το πρόγραμμα geogebra.

Κατασκευή Παραβολής

καθώς και η ανακλαστική ιδιότητα της παραβολής

Ανακλαστική ιδιότητα

Ο αριθμός e

 Μια τράπεζα προσφέρει ετήσιο επιτόκιο 100% (λέμε τώρα!!!) και μια άλλη 50% το εξάμηνο και μια τρίτη 33,33% το τετράμηνο.
Αν καταθέτατε εσείς τα χρήματά σας ποια από τις τρεις περιπτώσεις θα επιλέγατε;
Φαίνεται να είναι το ίδιο αλλά είναι όντως;
Ας υποθέσουμε οτι δανείζετε εσείς σε έναν φίλο σας 1 ευρώ με 100% ετήσιο επιτόκιο.
Σε ένα χρόνο θα έχετε πάρει 1+1=2 ευρώ δηλαδή θα έχετε διπλασιάσει το ποσό σας.
Με 50% επιτόκιο 2 φορές το χρόνο, θα λάβετε 1+1/2 ευρώ το πρώτο εξάμηνο και στο τέλος του χρόνου 1+1/2 φορές αυτού του ποσού δηλαδή (1+1/2)²=2.25 ευρώ.
Ομοίως με επιτόκιο 33.33% το τετράμηνο θα λάβετε  λίγο παραπάνω δηλαδη (1+1/3)³=2.37 ευρώ .
Παρατηρούμε πως το ποσό αυξάνεται αν αυξήσουμε τη συχνότητα ανατοκισμού μέσα στο χρόνο.Αυτό σημαίνει πώς με αυτόν τον τρόπο μπορείτε να βγάλετε μια περιουσία; 
Η απάντηση είναι μάλλον όχι
Γιατί το όριο  τείνει σε πεπερασμένο αριθμό καθώς το n τείνει στο άπειρο.
Ο αριθμός αυτός είναι ο e=2,7182818284.... και έχει πάρει το συμβολισμό του από το πρώτο γράμμα του ονόματος του μαθηματικού Leonhard Euler(1707-1783).

Οι τιμές του n έχουν μεγάλη σημασία όταν παραμένουν "μικρές".Από μια τιμή όμως και μετά , όσο κι αν αυξάνεται το n , το τελικό ποσό αυξάνεται ελάχιστα.
Ο άρρητος αυτός αριθμός συναντάται σε πολλές πρακτικές εφαρμογές αλλά ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η συνάρτηση 
                                  f(x)=



γιατί είναι μια συνάρτηση όπου ο ρυθμός ματαβολής της ισούται με τον εαυτό της.Η γραφική της παράσταση είναι η παρακάτω

 

όπου φαίνεται πως η εκθετική αύξηση είναι ραγδαία! 

Τελειώνοντας, σας δίνω ένα "διαφορετικό" sudoku αφιερωμένο στον Leonhard Euler.

Kάθε ένα από τα Σ,φ,i,e,π,0,1,γ,f  πρέπει να τοποθετηθούν έτσι ώστε να εμφανίζονται μία μόνο φορά σε κάθε στήλη,κάθε γραμμή και σε κάθε τετράγωνο που σχηματίζεται από 9 μικρότερα τετράγωνα.
Τα σύμβολα αυτά σχετίζονται όλα με τον μεγάλο μαθηματικό  5 από τα οποία βρίσκονται στη γνωστή σχέση:

 Δοκιμάστε το!

Ισότητα

Αν       1=5
          2=25
          3=325
          4=4325
τότε    5= ?